Niech \(\displaystyle{ g_X(t)}\) będzie funkcją tworzącą p-stwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Podaj zmienną losową \(\displaystyle{ Y}\) taką, że \(\displaystyle{ g_Y(t) = ((g_X(t))^5}\).
No cóż, można na pewno zapisać:
\(\displaystyle{ g_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty}{P(X=k)x^k}\) - taką przyjmujemy definicję.
Wtedy, \(\displaystyle{ g_Y(t)= \left(\sum_{k=0}^{\infty}{P(X=k)x^k\right)^5}\)
W ten sposób tego się nie pokona...
Skorzystamy z faktu, że:
Jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne to:
\(\displaystyle{ g_{X+Y}(t) = g_X(t)\cdot g_Y(t)}\).
Weźmy więc \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie Bernoulliego - czyli rzut monetą - albo się uda, albo nie - każde zdarzenie niezależne od siebie.
Wówczas biorąc:
\(\displaystyle{ Y}\) - zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym - innymi słowy - jakie jest p-stwo, że w \(\displaystyle{ 5}\) rzutach wyrzucimy \(\displaystyle{ k}\) orłów.
Czyli, \(\displaystyle{ Y=X+X+X+X+X}\)
Innymi słowy \(\displaystyle{ g_Y(t) = g_{X+X+X+X+X}(t) = (g_X(t))^5}\).
Chyba się udało, hmm ?