Zależności pomiędzy prawdopodobieństwami

[matinf]

Cześć,

Czy zachodzą poniższe nierówności:
\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \ge P(A_1) P(A_2) P(A_3)}\)
\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \le P(A_1) P(A_2) P(A_3)}\)
Zakładamy, że zdarzenia są parami niezależne, ale nie wiadomo czy są trójkami niezależne.
Gdyby były niezależne trójkami to mamy równość.

Więc co o tych powyższych nierównościach można powiedzieć ? Czy któraś zachodzi ?
Będę chciał skorzystać ze wzoru iloczynowego, ale wcześniej muszę ściągnąć z siebie brzemie zerowości \(\displaystyle{ A_1, A_2}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ P(A_1)\cdot P(A_2)=0}\). Wówczas któreś z tych dwóch zdarzeń ma zerowe pstwo. A wtedy \(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)=0}\) i mamy równości. Czyli dla takiego przypadku nierównosci zachodzą, i to obie.

Dalej zakładamy, że \(\displaystyle{ P(A_1)\cdot P(A_2) \neq 0}\).

\(\displaystyle{ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \ge P(A_1) P(A_2) P(A_3)}\)

\(\displaystyle{ P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\ge P(A_1) P(A_2) P(A_3)}\)

\(\displaystyle{ P(A_1)P(A_2)P(A_3|A_1\cap A_2)\ge P(A_1) P(A_2) P(A_3)}\)

\(\displaystyle{ P(A_3|A_1\cap A_2)\ge P(A_3)}\)

I teraz ani taka, ani druga nierówność raczej nie zajdzie. Chodzi o to, że \(\displaystyle{ A_1\cap A_2}\) może być różną informacja dla zdarzenia \(\displaystyle{ A_3}\) może mówić o tym, że \(\displaystyle{ A_3}\) teraz już prawie na pewno zajdzie, ale równie dobrze na pewno nie zajdzie. W sensie, nie wiadomo co powie informacja \(\displaystyle{ A_1\cap A_2}\) o informacji \(\displaystyle{ A_3}\).
Co o tym myślicie ? Potraficie dobrać zdarzenia do tego ?

[hannahannah]

Losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \{1\ldots 8\}}\)

Dla \(\displaystyle{ L>P}\):

\(\displaystyle{ A}\) liczba nieparzysta
\(\displaystyle{ B}\) liczba większa niż \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ C}\) liczba niepodzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).

Dla \(\displaystyle{ P>L}\):

\(\displaystyle{ A}\) liczba parzysta
\(\displaystyle{ B}\) liczba nie większa niż \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ C}\) liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).