\(\displaystyle{ X_1, X_2, ..., X_n}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma)}\), parametry \(\displaystyle{ \mu}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma}\) są nieznane.
Pokazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n} {(X_i-\overline{X})^2}}{\sigma^2}}\) ma rozkład chi-kwadrat z n-1 stopniami swobody.
Rozkład chi-kwadrat
- elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Rozkład chi-kwadrat
Ostatnio zmieniony 23 sie 2016, o 15:25 przez elbargetni, łącznie zmieniany 1 raz.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Rozkład chi-kwadrat
Czy na pewno treść zadania tak wygląda? Nie zabrakło jakiegoś kwadratu gdzieś?
To, co napisałeś, to jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2}\left( \sum_{i=1}^{n}X_i-n\cdot \overline X\right)=0}\)
To, co napisałeś, to jest
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sigma^2}\left( \sum_{i=1}^{n}X_i-n\cdot \overline X\right)=0}\)
- elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Rozkład chi-kwadrat
Znalazłem w zeszycie do statystyki taki śmieszny fakcik:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\left( X_i-\mu\right)^2= \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2+n(\overline X-\mu)^2}\)
Dowód polega na napisaniu \(\displaystyle{ (X_i-\mu)^2=((X_i-\ovelrine X)+(\overline X-\mu))^2}\),
wykorzystaniu wzoru na sumę kwadratów i zsumowaniu po \(\displaystyle{ n}\) (oczywiście \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i=n\overline X}\)).
Zatem wychodzi na to, że Twoja suma to
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left( X_i-\mu\right)^2}{\sigma^2}- \frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{X_i-\mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0,1)}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)}\) oraz
z niezależności \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)}\)
Ponadto nietrudno pokazać (np. z użyciem funkcji tworzących momenty), że
gdy \(\displaystyle{ X_i \sim \mathcal{N}(0,1)}\), to
\(\displaystyle{ \frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(1)}\)
Gdyby zatem wykazać niezależność \(\displaystyle{ Y_1=\sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}-\frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}}\)
i \(\displaystyle{ Y_2=\frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}}\),
to prosty rachunek z użyciem funkcji tworzących momenty lub funkcji charakterystycznych (no i skorzystanie z odpowiednich własności) dałby nam to, co chcemy.
Jakiś pomysł, jak pokazać tę niezależność? A może to w ogóle nie jest prawda? [w każdym razie nie jest to dla mnie intuicyjne]
Mnie się wydaje, że jakoś to szło przez własności wielowymiarowego rozkładu normalnego, ale szczegółów nie pamiętam. Zastanowię się.
-- 23 sie 2016, o 15:42 --
Znalazłem już ten dowód w necie, tak będzie szybciej:
Nie pamiętałem, że \(\displaystyle{ \overline X}\) i \(\displaystyle{ S^2}\) są niezależne, lamer ze mnie.
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\left( X_i-\mu\right)^2= \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline X)^2+n(\overline X-\mu)^2}\)
Dowód polega na napisaniu \(\displaystyle{ (X_i-\mu)^2=((X_i-\ovelrine X)+(\overline X-\mu))^2}\),
wykorzystaniu wzoru na sumę kwadratów i zsumowaniu po \(\displaystyle{ n}\) (oczywiście \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}X_i=n\overline X}\)).
Zatem wychodzi na to, że Twoja suma to
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left( X_i-\mu\right)^2}{\sigma^2}- \frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{X_i-\mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0,1)}\), więc
\(\displaystyle{ \frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)}\) oraz
z niezależności \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)}\)
Ponadto nietrudno pokazać (np. z użyciem funkcji tworzących momenty), że
gdy \(\displaystyle{ X_i \sim \mathcal{N}(0,1)}\), to
\(\displaystyle{ \frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(1)}\)
Gdyby zatem wykazać niezależność \(\displaystyle{ Y_1=\sum_{i=1}^{n}\frac{(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}-\frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}}\)
i \(\displaystyle{ Y_2=\frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}}\),
to prosty rachunek z użyciem funkcji tworzących momenty lub funkcji charakterystycznych (no i skorzystanie z odpowiednich własności) dałby nam to, co chcemy.
Jakiś pomysł, jak pokazać tę niezależność? A może to w ogóle nie jest prawda? [w każdym razie nie jest to dla mnie intuicyjne]
Mnie się wydaje, że jakoś to szło przez własności wielowymiarowego rozkładu normalnego, ale szczegółów nie pamiętam. Zastanowię się.
-- 23 sie 2016, o 15:42 --
Znalazłem już ten dowód w necie, tak będzie szybciej:
Nie pamiętałem, że \(\displaystyle{ \overline X}\) i \(\displaystyle{ S^2}\) są niezależne, lamer ze mnie.
- elbargetni
- Użytkownik
- Posty: 189
- Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15685
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5219 razy
Rozkład chi-kwadrat
Sorry, jeszcze dodam, że tam u mnie powinno być nie tak:
lecz \(\displaystyle{ X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\).
,Ponadto nietrudno pokazać (np. z użyciem funkcji tworzących momenty), że
gdy \(\displaystyle{ X_i \sim \mathcal{N}(0,1)}\), to
\(\displaystyle{ \frac{n(\overline X-\mu)^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(1)}\)
lecz \(\displaystyle{ X_i \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)}\).