Cześć,
\(\displaystyle{ X,Y}\) są geometryczne. Definiuję je jako:
\(\displaystyle{ Pr(X=k)=p(1-p)^{k-1}}\). Widać, że musi być, że \(\displaystyle{ k\ge 1}\).
Teraz co będzie oznaczało \(\displaystyle{ X+Y}\) ? Dokładniej chcę sprawdzić czy istnieją takie zmienne geometryczne \(\displaystyle{ X,Y}\) że \(\displaystyle{ X+Y}\) też ma rozkład geometryczny ?
No, ale zanim będę w stanie odpowiedzieć na to pytanie muszę zrozumieć co oznacza \(\displaystyle{ X+Y}\).
Po prostu zmienna losowa konkretnym zdarzeniom przypisuje wartości. W tym wypadku obie zmienne przypisują szanse, że dopiero za \(\displaystyle{ k-tym}\) razem odniesiemy sukces.
Czym jest np. \(\displaystyle{ Pr(X+Y=k)}\) ? Np. \(\displaystyle{ Pr(X+Y=1)}\) Ile takie p-stwo wynosi ? Jeśli zmienne są niezależne to chyba \(\displaystyle{ Pr(X+Y=1) = Pr(X=1)+Pr(Y=1)}\) A to może przekroczyć jedynkę....
Jak to jest w końcu ? Istnieją geometryczne zmienne takie, że ich suma też jest geometryczna ?
suma dwóch zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
suma dwóch zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym
Zmienna losowa to funkcja mierzalna. Co to jest suma funkcji rzeczywistych to chyba wiesz.
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y \in A)}\) to jest prawdopodobieństwo, że "nowa" zmienna losowa (czyli nowa funkcja mierzalna) \(\displaystyle{ X+Y}\) przyjmuje wartość ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Np. jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkłady geometryczne z parametrami \(\displaystyle{ p_1}\) oraz \(\displaystyle{ p_2}\) odpowiednio i są niezależne, to
dla \(\displaystyle{ k=2,3 \dots}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y=k)= \sum_{n \in \NN}^{}\mathbf{P}(X=n, Y=k-n)= \sum_{n \in \NN}^{}p_1(1-p_1)^{n-1}p_2(1-p_2)^{k-n-1}}\)
czyli chociażby dla \(\displaystyle{ k=3}\) mamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y=3)=\mathbf{P}(X=1, Y=2)+\mathbf{P}(X=2,Y=1)= \\=p_1p_2(1-p_2)+p_1(1-p_1)p_2}\)-- 23 sie 2016, o 13:39 --Aa, zapomniałem odpowiedzieć na Twoje pytanie z tematu.
Nie istnieją takie zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) o rozkładach geometrycznych, że \(\displaystyle{ X+Y}\) też ma rozkład geometryczny, gdyż np. kiedy \(\displaystyle{ X, Y}\) mają rozkłady geometryczne, to
zmienna losowa \(\displaystyle{ X+Y}\) nie przyjmie wartości \(\displaystyle{ 1}\) (a przynajmniej prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest równe zero).
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y \in A)}\) to jest prawdopodobieństwo, że "nowa" zmienna losowa (czyli nowa funkcja mierzalna) \(\displaystyle{ X+Y}\) przyjmuje wartość ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Np. jeśli \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają rozkłady geometryczne z parametrami \(\displaystyle{ p_1}\) oraz \(\displaystyle{ p_2}\) odpowiednio i są niezależne, to
dla \(\displaystyle{ k=2,3 \dots}\) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y=k)= \sum_{n \in \NN}^{}\mathbf{P}(X=n, Y=k-n)= \sum_{n \in \NN}^{}p_1(1-p_1)^{n-1}p_2(1-p_2)^{k-n-1}}\)
czyli chociażby dla \(\displaystyle{ k=3}\) mamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(X+Y=3)=\mathbf{P}(X=1, Y=2)+\mathbf{P}(X=2,Y=1)= \\=p_1p_2(1-p_2)+p_1(1-p_1)p_2}\)-- 23 sie 2016, o 13:39 --Aa, zapomniałem odpowiedzieć na Twoje pytanie z tematu.
Nie istnieją takie zmienne losowe \(\displaystyle{ X, Y}\) o rozkładach geometrycznych, że \(\displaystyle{ X+Y}\) też ma rozkład geometryczny, gdyż np. kiedy \(\displaystyle{ X, Y}\) mają rozkłady geometryczne, to
zmienna losowa \(\displaystyle{ X+Y}\) nie przyjmie wartości \(\displaystyle{ 1}\) (a przynajmniej prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest równe zero).
-
matinf
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
suma dwóch zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym
Z tego co zrozumiałem to:
\(\displaystyle{ Pr(X+Y=1)=\sum_{n\in\NN}Pr(X=n, Y=-n+1)=Pr(X=1, Y = 0) + Pr(X=0, Y = 1)}\)
Ponieważ zmienne geometryczne nie przyjmują wartości \(\displaystyle{ 0}\) to wiemy, ze masz rację, bo:
\(\displaystyle{ Pr(X=1, Y = 0) = Pr(X=0, Y=1)=0}\)
O to chodziło Ci ?
\(\displaystyle{ Pr(X+Y=1)=\sum_{n\in\NN}Pr(X=n, Y=-n+1)=Pr(X=1, Y = 0) + Pr(X=0, Y = 1)}\)
Ponieważ zmienne geometryczne nie przyjmują wartości \(\displaystyle{ 0}\) to wiemy, ze masz rację, bo:
\(\displaystyle{ Pr(X=1, Y = 0) = Pr(X=0, Y=1)=0}\)
O to chodziło Ci ?