zmienna losowa ani ciągła, ani dyskretna - podać przykład

[matinf]

Podać przykład zmiennej losowej, która nie jest ani dyskretna, ani ciągła.
\(\displaystyle{ P(X\in A) =}\).

Hmm, nie wydaje się to takie oczywiste. Niedyskretna, tzn że ma przyjmować wartości rzeczywiste, a nie tylko naturalne. A ciągła ? Co to znaczy w ogóle dla zmiennej losowej ?

[Premislav]

Zmienna losowa ciągła (dokładniej to absolutnie ciągła, w skrócie pisze się "ciągła") to taka, która ma gęstość. Zmienna losowa dyskretna to taka, że istnieje zbiór co najwyżej przeliczalny \(\displaystyle{ A}\) taki, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \in A)=1}\).

Np. można wziąć zmienną typu mieszanego, choćby
niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ (0,1)}\) i niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie zmienną losową o rozkładzie dwupunktowym:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=0)= \frac{1}{2}=1-\mathbf{P}(Y=1)}\), no i niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą niezależne.
Rozważmy zmienną losową \(\displaystyle{ Z= \frac{X+Y}{2}}\).

[Dualny91]

Można też chyba 'skleić' zmienną losową ciągłą wraz z dyskretną. Np. strzelamy strzałą do tarczy o promieniu \(\displaystyle{ 6}\) (losowo; zawsze trafiamy w tę tarczę, utożsamianą z kulą \(\displaystyle{ B(0,6)}\)). Rozważamy zmienną losową \(\displaystyle{ X}\): \(\displaystyle{ \inf\{|y|-|x| \colon |y| \geq |x| \wedge y \in [0,3] \cup \{4,5,6\} \}}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) to miejsce upadku strzały w tarczę. Inaczej mówiąc, gdy strzała wpada w \(\displaystyle{ B(0,3)}\) wartością zmiennej losowej jest promień miejsca upadku (\(\displaystyle{ X=|x|}\)), gdy strzała upada dalej, to \(\displaystyle{ X=\left \lceil |x| \right \rceil}\).
Jeśli coś porąbałem, to sorry

[matinf]

Zmienna losowa ciągła (dokładniej to absolutnie ciągła, w skrócie pisze się "ciągła") to taka, która ma gęstość. Zmienna losowa dyskretna to taka, że istnieje zbiór co najwyżej przeliczalny \(\displaystyle{ A}\) taki, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \in A)=1}\).

Np. można wziąć zmienną typu mieszanego, choćby
niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ (0,1)}\) i niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie zmienną losową o rozkładzie dwupunktowym:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y=0)= \frac{1}{2}=1-\mathbf{P}(Y=1)}\), no i niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą niezależne.
Rozważmy zmienną losową \(\displaystyle{ Z= \frac{X+Y}{2}}\).

Chciałbym to wyrazić jako \(\displaystyle{ P(Z\in A)}\), ale nie jest to takie proste
I co w ten sposób dostaniemy:
Dostaniemy zmienną \(\displaystyle{ Z}\) która osiąga wartości z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) przy czym \(\displaystyle{ Pr(Z=0)=Pr(Z=1)=1/4}\)
Chciałem to wyrazić jako \(\displaystyle{ Pr(Z\in A)}\), ale sprawia to pewne problemy. Tzn wiem już, że to oznacza, jakie jest pstwo, że nasza zmienna osiąga wartość ze zbioru \(\displaystyle{ A}\). Myślę, że powinienem to zapisać:

\(\displaystyle{ Pr(Z\in A) = \begin{cases} 0, A\cap [0,1] =\emptyset\\ 1/4, A=\{0,1\}, \\ ? A=(0,1) \end{cases}}\)

Nie wiem czy to jest właściwy trop. Po drugie, nie wiem co wpisać w miejsce pytajnika, bo jakie jest pstwo ? Dla każdej wartości jest ono równe, ale przecież tych liczb jest tam nieskończenie wiele. Jakoś chcę to zapisać.

[Santiago A]

Napisz dystrybuantę tej zmiennej losowej, będzie prościej.

[matinf]

Ok, jutro spróbuję - a czy dobrze jest napisane to co już jest ?