Znaleźć odchylenie różnicy niezależnych zmiennych losowych.

[matinf]

Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o odchyleniach standardowych \(\displaystyle{ \sigma_1}\), \(\displaystyle{ \sigma_2}\). Jakie jest odchylenie \(\displaystyle{ X-Y}\) ?

Ciężko mi to rozwiązać, jakieś pomysły?

[Premislav]

\(\displaystyle{ X}\) ma więc wariancję \(\displaystyle{ \sigma_1^2}\), zaś \(\displaystyle{ Y}\) - wariancję \(\displaystyle{ \sigma_2^2}\). Wobec tego z niezależności \(\displaystyle{ X, Y}\) wynika, że
\(\displaystyle{ X-Y}\) ma wariancję \(\displaystyle{ \sigma_1^2+\sigma_2^2}\), a więc odchylenie standardowe równe
\(\displaystyle{ \sqrt{\sigma_1^2+\sigma_2^2}}\)

[matinf]

Wiem, że z niezależności zmiennych wynika, że \(\displaystyle{ Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)}\). Ale dlaczego z ich niezależności ma wynikać wariancja równa: \(\displaystyle{ \sigma_1^2 + \sigma_2^2}\) to już nie wiem.

Spróbuję to zobaczyć:
\(\displaystyle{ Var\left(X-Y\right) = Var\left(X+(-1)Y\right) = Var X + Var ((-1)Y) = Var X + (-1)^2Var Y = Var X + Var Y}\)
Czyli mamy, że \(\displaystyle{ Var(X-Y) = Var X + Var Y}\).
Faktycznie, masz rację. Dobrze wnioskuję ?

[Igor V]

\(\displaystyle{ Z=X-Y}\)
\(\displaystyle{ \sigma^2 = EZ^2 - E^2Z= E(X^2 - 2XY + Y^2 ) - (EX - EY)^2 = EX ^{2} -2EXEY + EY ^{2} - E ^{2}X + 2EXEY - E ^{2}X = EX^2 - E^2X + EY^2 - E^2Y = \sigma_1 ^2 + \sigma_2 ^2}\)

[matinf]

A czy ja słusznie napisałem?

[Premislav]

Zaiste.