2 osoby urodzone tego samego dnia

[mint18]

Mając 30 osób jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie/co najmniej 2 osoby urodziły się tego samego dnia? Zakładamy, że rok ma 365 dni.

dokładnie/co najmniej - tutaj proszę wybrać sobie łatwiejszą opcję do policzenia

[Premislav]

Prawdopodobieństwo, że żadne dwie nie urodziły się tego samego dnia:
\(\displaystyle{ \frac{365 \cdot 364 \cdot \dots (365-30+1)}{365^{30}}}\)
Zatem prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie osoby urodziły się tego samego dnia to, przy założeniach zadania, \(\displaystyle{ 1-\frac{365 \cdot 364 \cdot \dots (365-30+1)}{365^{30}}=1- \prod_{k=1}^{29}\left( 1- \frac{k}{365} \right) \ge 1-e^{- \frac{87}{73} }}\)
- skorzystałem z nierówności \(\displaystyle{ e^{-x} \ge 1-x}\) i wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego (wykładnik). Jak twierdzi wolfram, jest to zatem nie mniej niż
.

A dokładnie dwie - to wygląda na gorsze, trzeba by kombinować chyba ze wzoru włączeń i wyłączeń.-- 17 sie 2016, o 16:54 --Chociaż jeśli człowiek się nie boi elementarnej kombinatoryki, to może i nie.
Ale ja się zdecydowanie boję.

[dec1]

Weźmy dwie osoby, szansa, że mają urodziny tego samego dnia to \(\displaystyle{ \frac{1}{365}}\). Szansa, że pozostałe osoby mają inne daty urodzin to \(\displaystyle{ \frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdot\ldots\cdot\frac{365-(n-2)}{365}}\). Teraz mnożymy przez możliwości wyboru tych dwóch osób \(\displaystyle{ \binom{n}{2}}\) i mamy wynik:

\(\displaystyle{ \textbf{P}(\text{dokładnie dwie z}\, n\geq 2\,\text{osób urodziły się tego samego dnia})=\\
\binom{n}{2}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdot\ldots\cdot\frac{365-n+2}{365}\cdot\frac{1}{365}=\binom{n}{2}\cdot\frac{364\cdot 363\cdot\ldots\cdot (365-n+2)}{365^{n-1}}=\binom{n}{2}\cdot\frac{364!}{(365-n+1)!\cdot 365^{n-1}}}\)

Dla \(\displaystyle{ n=30}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \textbf{P}(\text{dokładnie dwie z}\, 30\,\text{osób urodziły się tego samego dnia})=\\
\binom{30}{2}\cdot\frac{364!}{336!\cdot 365^{29}}\approx 38.0\%}\)

[kerajs]

Łyżeczka dziegciu:
Aby rozwiązania były poprawne, należy zmodyfikować treść zadania. Np:
,,Mając 30 osób z tego samego rocznika, jakie jest prawdopodobieństwo.....'
czy
,,....2 osoby obchodziły urodziny tego samego dnia? Zakładamy, że rok ma 365 dni.'

PS
Jakie będzie prawidłowe rozwiązanie zadania przy jego pierwotnej treści ?