Standardowy rozkład normalny do kwadratu

[Soks]

Cześć, mam takie zadanie i nie do końca wiem dlaczego w książce jest taka odpowiedź, jeśli ktoś byłby mi w stanie powiedzieć z czego to wynika to byłbym wdzięczny, a mianowicie:

Niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma standardowy rozkład normalny, niech \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\). Znaleźć dystrubuantę i gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\), gdzie \(\displaystyle{ F(x)}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.

W książce jest odpowiedź:

Dystrybuanta:
\(\displaystyle{ 2F( \sqrt{t}) - 1}\)

Gęstość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{2 \pi t} }exp( \frac{-t}{2} )}\) dla \(\displaystyle{ t in [0, infty )}\)

[Premislav]

OK, to może przedstawię rozwiązanie zadania i wtedy będzie wiadomo, skąd się to wzięło.
Niech \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(0,1)}\) i \(\displaystyle{ Y=X^2}\). Wówczas mamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(Y \le t)=\mathbf{P}(X^2 \le t)= \begin{cases}0 \text{ gdy } t \le 0 \\ \mathbf{P}(-\sqrt{t} \le X\le \sqrt{t}) \text{ w przeciwnym wypadku } \end{cases}=\\=(\mathbf{P}(X \le \sqrt{t})-\mathbf{P}(X<-\sqrt{t})) \mathbf{1}_{(0,+\infty)}(t)=(\mathbf{P}(X \le \sqrt{t})-\mathbf{P}(X\le-\sqrt{t})) \mathbf{1}_{(0,+\infty)}(t)=\\=(F(\sqrt{t})-F(-\sqrt{t})) \mathbf{1}_{(0,+\infty)}(t)=\left( 2F(\sqrt{t})-1\right)\mathbf{1}_{(0,+\infty)}(t)}\)

Wytłumaczenie: nierówność \(\displaystyle{ X^2 \le t}\) jest w sposób oczywisty nieprawdziwa, gdy \(\displaystyle{ t}\) jest ujemne, zaś dla \(\displaystyle{ t \ge 0}\) równoważna jest tej: \(\displaystyle{ -\sqrt{t}\le X \le \sqrt{t}}\); ponadto dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie absolutnie ciągłym (normalny taki jest) mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X \le t)=\mathbf{P}(X<t)}\).
Ponadto w ostatnim przejściu koarzystam z tego, że
\(\displaystyle{ \Phi(-x)=1-\Phi(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego. Własność ta wynika z parzystości \(\displaystyle{ f(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{t^2}{2} }}\), czyli gęstości standardowego rozkładu normalnego.

No a gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X^2}\) dostajesz, po prostu różniczkując dystrybuantę dla \(\displaystyle{ t >0}\). Wzór na pochodną funkcji złożonej i jedziesz.

[Soks]

Dzięki wielkie, oto właśnie mi chodziło
Dodam jeszcze dla potomnych, że w zrozumieniu tych przejść pomogło mi patrzenie na rysunek gęstości \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\).

[Santiago A]

Warto wspomnieć, że zmienna \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^2}\) z jednym stopniem swobody.