Sigma algebra generowana przez przestrzeń zdarzeń

[JRobinson]

\(\displaystyle{ \left( \Omega,\Sigma,P\right)}\)- trójka probabilistyczna
Zakładamy,że \(\displaystyle{ \Omega= \bigcup_{k=1}^{n} A_{k}}\) gdzie \(\displaystyle{ A_{i} \cap A _{j}= \emptyset}\)
Czy zachodzi następująca równość:

\(\displaystyle{ \sigma\left( \Omega\right)=\sigma\left( A _{1},...,A _{k} \right)= \Sigma}\) ?

[szw1710]

Nie ma sensu oznaczenie \(\displaystyle{ \sigma(\Omega)}\), bo sigma-algebra generowana jest przez rodzinę zbiorów. Większy sens ma to środkowe oznaczenie. Byłoby \(\displaystyle{ \sigma(\Omega)=\{\emptyset,\Omega\}}\), bo w świetle tego zapisu byłaby to sigma-algebra generowana przez jeden tylko zbiór \(\displaystyle{ \Omega}\).

Co do meritum - niech \(\displaystyle{ \Omega=[0,1]}\). Z miarą Lebesgue'a jako prawdopodobieństwo oraz z \(\displaystyle{ \Sigma}\) będącą rodziną np. zbiorów borelowskich stanowi przestrzeń probabilistyczną. Oczywiście mamy \(\displaystyle{ (0,1]=\{0\}\cup(0,1]}\). Jaką sigma-algebrę wygenerują te dwa zbiory?

[JRobinson]

\(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ \left\{ 0\right\},\left( 0,1\right] \right\} \right) =\left\{ \emptyset,\Omega,\left\{ 0\right\},\left( 0,1\right] \right\}}\)

[szw1710]

Więc jaka jest odpowiedź na Twoje pytanie?

[JRobinson]

Raczej twierdząca,
dzięki trochę mi się to dzięki Tobie rozjaśniło, ale i tak chyba tego do końca nie rozumiem...
bardzo dziękuję za naprowadzenie!

[szw1710]

Raczej twierdząca

Czyli równość, o którą pytasz, zachodzi? Taka jest Twoja interpretacja mojego przykładu?

[JRobinson]

W tym przykładzie chyba jednak tak nie będzie, bo \(\displaystyle{ \Sigma}\) to zncznie więcej niż \(\displaystyle{ \sigma\left( \left\{ \left\{ 0\right\},\left( 0,1\right] \right\} \right)}\)

A jeśli \(\displaystyle{ \Omega}\)miała by skończoną liczbe elementów? wtedy mogłabym podejrzewać że taka równość zajdzie?

[szw1710]

Na pewno będzie tak, że jeśli \(\displaystyle{ A_k}\) są singletonami w skończonej liczbie, to wygenerujesz... właśnie - co wygenerujesz?

Dokładnie: \(\displaystyle{ \Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}}\) oraz \(\displaystyle{ A_k=\{\omega_k\}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,\dots,n}\).

[JRobinson]

czyli \(\displaystyle{ \sigma\left( A _{1},...,A _{n} \right)=\left\{ \emptyset,\Omega,A _{1} ,\Omega \setminus A _{1},...,A _{n}, \Omega \setminus A_{n} \right\}}\) natomiast liczba elementów \(\displaystyle{ \sigma\left( A _{1},...,A _{n}\right)}\) wynosi\(\displaystyle{ 2 ^{\Omega}}\) ?

[szw1710]

Nie. Co do liczby elementów zgoda.