Współczynnik korelacji sum niezależnych zmiennych losowy

[Emiel Regis]

Niech \(\displaystyle{ X_1, ..., X_n}\) będą niezależne o tej samej wariancji \(\displaystyle{ \sigma^2}\).
\(\displaystyle{ U=3X_1+X_2+...+X_n \\
V=X_1+X_2+...+X_{n-1}+2X_n}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ \rho (U,V)}\)

Jako ze zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne to kowariancja dowolnej pary wynosi zero. Czyli wariancja sumy to jest suma wariancji. Ergo:
\(\displaystyle{ D^2U=(n+8)\sigma^2 \\
D^2V=(n+3)\sigma^2}\)

Prosiłbym o sprawdzenie tego co napisalem powyżej oraz policzenie kowariancji zmiennych U oraz V.

[jovante]

\(\displaystyle{ Cov(U,V)=Cov(V,U)=E[(U-EU)(V-EV)]=E(UV)-EU\cdot EV=\\=E\left(3X_1^2+\sum_{i=2}^{n-1}X_i^2+2X_n^2\right)-3(EX_1)^2-\sum_{i=2}^{n-1} (EX_i)^2-2(EX_n)^2=\\=3D^2X_1+\sum_{i=2}^{n-1}D^2X_i+2D^2X_n=3\sigma^2+(n-2)\sigma^2+2\sigma^2=(n+3)\sigma^2}\)

to co napisałeś jest dobrze, zatem masz wszystkie dane do policzenia współczynnika korelacji

[Emiel Regis]

ooo widzisz, otóż to! Mi uparcie ta kowariancja wychodziła zero bo wszystko mi sie z niezależności skracało; )
Ale przezorność mi mówiła że zbyt proste by to było. I faktycznie wiekszosc sie skraca ale iloczyny wartosci oczekiwanych zmiennych o takich samych indeksach zostają. Chwile sie nad tym nagłowiłem. Wielkie dzięki!

Ostatecznie współczynnik mi wyszedł:
\(\displaystyle{ \rho(U,V)=\frac{n+3}{\sqrt{(n+8)(n+3)}}= \sqrt{ \frac{n+3}{n+8} }}\)
czyli co ciekawe niezależny od wariancji...