Matematyka.pl

Wkładamy losowo n listów do róznych adresatów do n kopert. Znaleźć wartość średnią i wariancję liczby listów włożonych prawidłowo.

\(\displaystyle{ X}\) - liczba listów włożonych prawidłowo
\(\displaystyle{ X_i}\) - czy i-ty list włożony prawidłowo, 1 gdy tak, 0 gdy nie
\(\displaystyle{ X=\sum_{i=1}^n X_i}\)
\(\displaystyle{ D^2X=\sum_{i=1}^{n}D^2X_i+2 \sum_{1\leqslant i}\)

zakładam, że w każdej kopercie jest dokładnie jeden list

\(\displaystyle{ EX=n\frac{1}{n}=1}\)

\(\displaystyle{ D^2X=n\left(\frac{1}{n}-\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)+2{n \choose 2}\left(\frac{1}{n(n-1)}-\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}=1}\)