Kombinatoryka i prawdopodobienstwo

[krysia78]

Witam. Mam na poprawkę zadania z tego trudnego dla mnie działu .Nie potrafię ich rozwiązać .

1. W urnie są trzy kule białe i \(\displaystyle{ 4}\) kule czarne. Losujemy dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania :
a. dwóch kul o tym samym kolorze
b. dwóch kul o różnych kolorach

2. W urnie znajdują się \(\displaystyle{ 4}\) kule białe i \(\displaystyle{ 7}\) kul czarnych.
Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:
a. dwóch kul o tym samym kolorze
b. dwóch kul o różnych kolorach

3. Z talii \(\displaystyle{ 24}\) kart losujemy jedną kartę.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:
a. damy
b. karty pik
c. karty kier lub asa

4. Z talii \(\displaystyle{ 52}\) kart losujemy dwa razy po jednej karcie bez zwracania.
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania:
a. dwóch dziewiątek
b. dwóch kart o jednakowej barwie
c. dwóch trefli

5. Oblicz \(\displaystyle{ P( A \cap B)}\),wiedząc, ze \(\displaystyle{ P(A)= 0,4, P(B')=0,6}\) i \(\displaystyle{ P(A \cup B)=0,3}\)

Serdecznie dziękuję i zazdroszcze utalentowanycm




Tak mam zapisane w tresci zadania . Prosze mi napisac jak mozna je rozwiazac ,jesli A plus B = 0,8. Pani profesor moze niewyraznioe napisala. Dziekuje

[loitzl9006]

Zad. 1
b - biała, c - czarna
\(\displaystyle{ 3}\) białe, \(\displaystyle{ 4}\) czarne, razem \(\displaystyle{ 7}\) kul
Możliwe zdarzenia: \(\displaystyle{ (b,b), \ (b,c), \ (c,b), \ (c,c)}\)
a)
Zdarzenia sprzyjające: \(\displaystyle{ (b,b), \ (c,c)}\)
\(\displaystyle{ P(b,b)=\frac37\cdot\frac37=\frac9{49} \\ P(c,c)=\frac47\cdot\frac47=\frac{16}{49} \\ P=\frac9{49}+\frac{16}{49}=\boxed{\frac{25}{49}}}\)

b)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że wylosowano kule o tym samym kolorze
\(\displaystyle{ A'}\) - zdarzenie, że wylosowano kule o różnych kolorach
Zdarzenie \(\displaystyle{ A'}\) jest przeciwne do zdarzenia \(\displaystyle{ A}\)
Z podpunktu a) wiadomo, że \(\displaystyle{ P(A)=\frac{25}{49}}\)
Z własności zdarzeń przeciwnych wiadomo, że \(\displaystyle{ P(A)+P(A')=1}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ P(A)+P(A')=1 \\ \frac{25}{49}+P(A')=1\\ P(A')=1-\frac{25}{49}\\ P(A')=\frac{49}{49}-\frac{25}{49}\\ P(A')=\boxed{\frac{24}{49}}}\)

Zad. 2
\(\displaystyle{ 4+7=11}\) - tyle jest kul w urnie
Losujemy \(\displaystyle{ 2}\) kule z \(\displaystyle{ 11}\), więc
\(\displaystyle{ \Omega= {11 \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że wylosujemy dwie kule o tym samym kolorze
Zdarzenia sprzyjające: wylosujemy \(\displaystyle{ 2}\) kule z \(\displaystyle{ 4}\) (białych)
lub
wylosujemy \(\displaystyle{ 2}\) kule z \(\displaystyle{ 7}\) (czarnych)
\(\displaystyle{ A= {4 \choose 2} +{7 \choose 2}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{A}{\Omega}=\frac{{4 \choose 2} +{7 \choose 2}}{{11 \choose 2}}}\)

\(\displaystyle{ {4 \choose 2}=\frac{4!}{2!\cdot(4-2)!}=\frac{24}{2\cdot2}=6\\ {7 \choose 2}=\frac{7!}{2!\cdot(7-2)!}=\frac{5!\cdot6\cdot7}{2!\cdot5!}=\frac{6\cdot7}2=21\\ {11 \choose 2}=\frac{11!}{2!\cdot(11-2)!}=\frac{9!\cdot10\cdot11}{2!\cdot9!}=\frac{10\cdot11}2=55}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{6+21}{55}=\boxed{\frac{27}{55}}}\)

b)
Zdarzenie przeciwne
\(\displaystyle{ P(A)+P(A')=1\\ \frac{27}{55}+P(A')=1\\ P(A')=1-\frac{27}{55}\\ P(A')=\frac{55}{55}-\frac{27}{55}\\ P(A')=\boxed{\frac{28}{55}}}\)

Zad. 3
\(\displaystyle{ \Omega=24}\)
a)
W talii mamy \(\displaystyle{ 4}\) damy, więc \(\displaystyle{ A=4}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac A\Omega=\frac4{24}=\boxed{\frac16}}\)

b)
W talii mamy \(\displaystyle{ 6}\) pików, więc \(\displaystyle{ A=6}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac A\Omega=\frac6{24}=\boxed{\frac14}}\)

c)
Karty sprzyjające:
- dziewiątka kier
- dziesiątka kier
- walet kier
- dama kier
- król kier
- as kier
- as karo
- as trefl
- as pik
Istnieje \(\displaystyle{ 9}\) kart sprzyjających, więc \(\displaystyle{ A=9}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac A\Omega=\frac9{24}=\boxed{\frac38}}\)

Zad. 4
Losujemy \(\displaystyle{ 2}\) karty z \(\displaystyle{ 52}\), więc
\(\displaystyle{ \Omega= {52 \choose 2} =\frac{52!}{2!\cdot(52-2)!}=\frac{50!\cdot51\cdot52}{2!\cdot50!}=\frac{51\cdot52}2=1326}\)
a)
W talii mamy \(\displaystyle{ 4}\) dziewiątki
Zdarzenie sprzyjające: wylosujemy \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 4}\) dziewiątek, więc
\(\displaystyle{ A= {4 \choose 2} =6}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac A\Omega=\frac6{1326}=\boxed{\frac1{221}}}\)

b)
W talii mamy \(\displaystyle{ 26}\) kart czerwonych oraz \(\displaystyle{ 26}\) kart czarnych
Zdarzenie sprzyjające: wylosujemy \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 26}\) kart czerwonych
lub
\(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 26}\) kart czarnych
Zatem \(\displaystyle{ A= {26 \choose 2} + {26 \choose 2}=2\cdot{26\choose2}=2\cdot\frac{26!}{2!\cdot(26-2)!}=2\cdot\frac{24!\cdot25\cdot26}{2!\cdot24!}=2\cdot\frac{25\cdot26}2= 650}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac A\Omega=\frac{650}{1326}=\boxed{\frac{25}{51}}}\)

c)
W talii mamy \(\displaystyle{ 13}\) trefli
Zdarzenie sprzyjające: wylosujemy \(\displaystyle{ 2}\) z \(\displaystyle{ 13}\) trefli
Zatem \(\displaystyle{ A= {13 \choose 2}=\frac{13!}{2!\cdot(13-2)!}=\frac{11!\cdot12\cdot13}{2\cdot11!}=\frac{12\cdot13}2= 78}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac A\Omega=\frac{78}{1326}=\boxed{\frac1{17}}}\)

Zad. 5
Rozwiązanie dla \(\displaystyle{ P(A \cup B)=0.8}\)

Będziemy korzystać ze wzoru \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\)
Tylko że brakuje nam wartości \(\displaystyle{ P(B)}\)
Wartość \(\displaystyle{ P(B)}\) wyliczamy z własności zdarzenia przeciwnego:
\(\displaystyle{ P(B)+P(B')=1}\) - po wstawieniu \(\displaystyle{ P(B')=0.6}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ P(B)=0.4}\)

i po wstawieniu danych do wzoru \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\) wyznaczasz szukane \(\displaystyle{ P(A\cap B)}\).

Powinno wyjść \(\displaystyle{ P(A\cap B)=0}\)