Centralne Twierdzenie Graniczne - gdzie jest "haczyk"?

[quru]

Prawdopodobieństwo trafienia do celu w każdym strzale jest równe 0,7. Ile niezależnych strzałów należy oddać aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,96 cel został trafiony przynajmniej 25 razy?

\(\displaystyle{ X_{n} = \begin{cases} 1, celny \\ 0, niecielny \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ P[S_{n} \ge 25] \ge 0,96}\)

\(\displaystyle{ \frac{S_{n}-np}{ \sqrt{npq} } \Rightarrow \Rightarrow \Rightarrow X~N(0,1)}\)
\(\displaystyle{ P[S_{n} \ge 25]=P[ \frac{S_{n}-np}{ \sqrt{npq} } \ge \frac{25-np}{ \sqrt{npq} }] = 1-P[ \frac{S_{n}-np}{ \sqrt{npq} } \ge \frac{25-np}{ \sqrt{npq} }]}\)

\(\displaystyle{ 1 - \phi(z) = \phi(-z)}\)

Z tablicy dystrybuanty rozkładu N(0,1) odczytuje \(\displaystyle{ \phi(-z) \ge 0,96}\) dla\(\displaystyle{ z \approx -1,75}\)

Podstawiam p=0,7, q=0,3 i otrzymuje

\(\displaystyle{ \frac{25-0,7n}{ \sqrt{0,21n} } \le -1,75}\)

Po dokonaniu odpowiednich rachunków wychodzi mi \(\displaystyle{ n \in (28;43)}\) co jest nieprawdą, bo możemy oddać milion strzałów i wśród nich będzie celny. Należy powyższą nierówność pomnożyć obustronnie przez -1 (i oczywiście zmienić znak). Pytanie dlaczego należy pomnożyć przez -1?

Drugie pytanie:

Jeśli pomnożymy obustronnie razy -1 to wyjdzie \(\displaystyle{ n<28 \vee n>43}\). Odpowiedzią jest n=43, ale dlaczego nie może być 27, 26 lub 25?

[mortan517]

Gdzieś robisz błąd, że wychodzi ci przedział otwarty taki jak napisałeś. Drugi przypadek wydaje się okey i masz wtedy dwa przedziały. Dlaczego część odrzucisz? Ponieważ:

\(\displaystyle{ 25-0,7n \le -1,75 \cdot \sqrt{0,21n} \\
0,7n - 25 \ge 1,75 \cdot \sqrt{0,21n} \ge 0 \\
0,7n \ge 25 \\
n \ge \frac{25}{0,7}}\)