prawdopodobieństwo de Moivre

waliant · Post autor: **waliant** » 27 cze 2016, o 23:15

Samolot zabiera bezpiecznie \(\displaystyle{ 12 000}\) kg. Zakładamy, ze wagi pasażerów są niezależnymi
zmiennymi losowymi o jednakowych rozkładach. Ile co najwyżej osób może zabrać ten samolot,
aby z prawdopodobieństwem większym bądź równym \(\displaystyle{ 0,999}\) ich łączna waga nie przekroczyła
\(\displaystyle{ 12 000}\) kg? Zakładamy, że rozkład wagi ma średnią \(\displaystyle{ 65}\) kg i wariancję \(\displaystyle{ 100}\) kg

Z czego tu skorzystać?

AloneAngel · Post autor: **AloneAngel** » 27 cze 2016, o 23:17

Czy to nie będzie klasyczne zadanie na Centralne Twierdzenie Graniczne?-- 27 cze 2016, o 22:20 --Niech \(\displaystyle{ X_i}\) - zmienna opisująca wagę i-tego pasażera; \(\displaystyle{ N}\) - poszukiwana liczba pasażerów; Wtedy \(\displaystyle{ S_N = X_1 + ... + X_N}\) opisuje nam łączną wagę pasażerów. Dalej powinno pójść.

waliant · Post autor: **waliant** » 27 cze 2016, o 23:21

przepraszam, nie widzę tego. Mogłabyś troszkę dokładniej?

Premislav · Post autor: **Premislav** » 27 cze 2016, o 23:23

Niech \(\displaystyle{ (X_k)_{k \in \NN}}\) - ciąg niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie
ze średnią \(\displaystyle{ 65}\) i wariancją \(\displaystyle{ 100}\).
Szukasz największego takiego \(\displaystyle{ N}\), że
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( X_1+\dots+X_N \le 12000\right)= \mathbf{P}\left( \frac{X_1+\dots X_N -N \cdot 65}{\sqrt{100N}} \le \frac{12000-65N}{ \sqrt{100N} } \right) \ge 0,99}\), a to prawdopodobieństwo przybliżasz z CTG za pomocą
\(\displaystyle{ \Phi\left( \frac{12000-65N}{ \sqrt{100N} } \right)}\)
W efekcie, ponieważ dystrybuanta rozkładu normalnego jest ściśle rosnąca, masz
do rozwiązania nierówność \(\displaystyle{ \Phi^{-1}(0,99) \le \frac{12000-65N}{ \sqrt{100N} }}\)