rozkład sumy

[waliant]

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie Cauchy'ego o gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\pi(1+x^2)}}\). Jak policzyć rozkład sumy \(\displaystyle{ X+Y}\) oraz \(\displaystyle{ 2X}\)?

[Premislav]

Rozkład \(\displaystyle{ X+Y}\) można wyznaczyć za pomocą splotu, a rozkład \(\displaystyle{ 2X}\) - z dystrybuanty.
Gęstość \(\displaystyle{ X+Y}\):
\(\displaystyle{ f_{X+Y}(x)= \int_{\RR}^{} \frac{1}{\pi(1+(x-y)^2) \pi(1+y^2)} dy}\) i rozłóż jakoś na ułamki proste.


No a \(\displaystyle{ \mathbf{P}(2X \le x)=\mathbf{P}\left( X \le \frac x 2\right) = \int_{-\infty}^{\frac x 2} \frac{dt}{\pi(1+t^2)}= \frac{1}{\pi} \arctan\left( \frac x 2\right) + \frac{1}{2}}\)
i po zróżniczkowaniu dostaniesz gęstość \(\displaystyle{ 2X}\).-- 27 cze 2016, o 21:56 --A, czekaj, ja kiepsko czytam ze zrozumieniem mimo przeczytania setek książek (to kwestia wrodzonej inteligencji, czy dokładniej wrodzonego braku inteligencji) - czy nie chodziło więc o rozkład
\(\displaystyle{ 3X+Y}\)? Bo to sformułowanie jest dziwne. Ale to i tak liczysz za pomocą splotu.

[waliant]

Przepraszam za nieścisłość. Pierwsza interpretacja prawidłowa. Dziękuję.