Losowe wyciąganie liczb ze zbioru - rozkład zmiennej.

[Maciek1994]

Ze zbioru \(\displaystyle{ {1,2,...,200}}\) wyciągamy losowo \(\displaystyle{ 4}\) różne liczby. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza największą z nich.
(a) Na jakiej przestrzeni probabilistycznej zdefiniowana jest zmienna \(\displaystyle{ X}\) ?
(b) Wyznacz rozkład \(\displaystyle{ X}\).
Moje odpowiedzi:
a)Zmienna \(\displaystyle{ X}\) skupiona jest na zbiorze \(\displaystyle{ k \in {4,5,...,200}}\)
b)\(\displaystyle{ P(X=k)= {4 \choose 1} {200 \choose 4}}\)
Podpunkt \(\displaystyle{ b}\) jest chyba źle, ale chciałbym się dowiedzieć dlaczego i poznać poprawne rozwiązanie. Z góry dzięki.

[squared]

\(\displaystyle{ P\{X=k\}}\) to prawdopodobieństwo, że liczba \(\displaystyle{ k}\) jest największą spośród wszystkich czterech wylosowanych.

\(\displaystyle{ P\{X=k\}=\frac{{k-1 \choose 3}}{ {200 \choose 4}}}\)

Mianownik: Liczba wszystkich wyborów czterech liczb z dwustu liczb.
Licznik: Wybieramy daną pewną liczbę \(\displaystyle{ k}\) (na jeden sposób można to zrobić). Potem losujemy pozostałe \(\displaystyle{ 3}\), tzn. wybieramy trzy liczby spośród wszystkich mniejszych od \(\displaystyle{ k}\) (w ten sposób gwarantujemy sobie, że \(\displaystyle{ k}\) jest największą spośród czterech wylosowanych).

Oczywiście \(\displaystyle{ P\{X=k\}=0}\), gdy \(\displaystyle{ k=1,2,3}\)

[Maciek1994]

A czemu nie można wybrać \(\displaystyle{ 4}\) z \(\displaystyle{ 200}\), a później jeszcze \(\displaystyle{ 1}\) z tych wybranych \(\displaystyle{ 4}\), tak jak zapisałem w pierwszym poście? Chodzi po prostu o to, że przy rozkładzie zmiennej losowej patrzymy na ten jeden interesujący nas element i wtedy te większe już nie będą brane przez nas pod uwagę, bo nie spełnią warunków dla naszego rozpatrywanego, wybranego zdarzenia?

[squared]

Patrzysz na to doświadczenie losowe z innej strony, można tak. Czyli losujemy \(\displaystyle{ 4}\) z \(\displaystyle{ 200}\) liczb, a potem jedną spośród czterech. No, dobrze, ale to jeszcze nie jest \(\displaystyle{ P\{X=k\}}\), lecz tylko liczba wszystkich możliwych wylosowani \(\displaystyle{ 4}\) liczb z \(\displaystyle{ 20}\), a potem jednej spośród czterech.

Zatem takie coś: \(\displaystyle{ P\{X=k\}= {4 \choose 1} {200 \choose 4}}\) jest kompletnie źle, bo nie określa prawdopodobieństwa żadnego! Przecież to nie jest, ani liczba z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) i dodatkowo w ogóle nie jest to wartość zależna od \(\displaystyle{ k}\). Znaczyłoby to, że bez względu jaką liczbę rozpatruję, to prawdopodobieństwo, że będzie ona największa z danej czwórki jest taka sama.

Zatem dobrze, możemy wylosować \(\displaystyle{ 4}\) liczby z \(\displaystyle{ 200}\), a potem jedną spośród czwórki. No, ale to nie koniec. Jak przy takim podejściu chcesz znaleźć liczbę przypadków, że wylosowana liczba spośród czterech jest największa?

[Maciek1994]

A gdyby wybrać \(\displaystyle{ 1}\) ze wszystkich \(\displaystyle{ 196}\) naszych \(\displaystyle{ k}\), a następnie wybrać \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 200}\) liczb, które są mniejsze od naszego wybranego elementu \(\displaystyle{ k}\)? Wyglądałoby to tak:
\(\displaystyle{ \frac{ {196 \choose 1} \cdot {200-k \choose 3} }{ {200 \choose 4} }}\)

[squared]

To jest już myślenie zbliżone do mojego, jakbyś nie zauważył. Tylko ,dlaczego losujesz najpierw z \(\displaystyle{ 196}\)? Chyba spośród \(\displaystyle{ 200}\)? I jak "następnie" \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 200}\), skoro na pewno jedną z niej wybrałeś już?

\(\displaystyle{ \frac{ {196 \choose 1} \cdot {200-k \choose 3} }{ {200 \choose 4} }}\)

Jeśli drugi człon w liczniku oznacza

a następnie wybrać \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 200}\) liczb, które są mniejsze od naszego wybranego elementu \(\displaystyle{ k}\)?

To źle... bo elementów mniejszych np. od \(\displaystyle{ 40}\) jest \(\displaystyle{ 39}\).
A u Ciebie wychodzi \(\displaystyle{ 200-40=160}\)

[Maciek1994]

Tylko ,dlaczego losujesz najpierw z \(\displaystyle{ 196}\)? Chyba spośród \(\displaystyle{ 200}\)?

Losuję ze \(\displaystyle{ 196}\), ponieważ tylko liczby \(\displaystyle{ {4,5,6,...,200}}\) mogą być większe od innych \(\displaystyle{ 3}\) pozostałych, wybranych ze zbioru liczb \(\displaystyle{ {1,2,3,...,200}}\). Więc dla \(\displaystyle{ k=1, k=2, k=3}\) prawdopodobieństwo będzie wynosiło \(\displaystyle{ 0}\).
\(\displaystyle{ \frac{ {196 \choose 1} \cdot {199-k \choose 3} }{ {200 \choose 4} }}\)

[squared]

Z tego co rozumiałem teraz to: losujesz jedną liczbę, a do niej dobierasz trzy następne, większe od niej - to znaczy drugi czynnik licznika. Czyli nie to co potrzebujesz.

Weźmy tę szóstkę przykładowo. Sprzyjające układy dla nas to:
\(\displaystyle{ 1,2,3,6 \\
1,2,4,6 \\
1,2,5,6 \\
1,3,4,6 \\
1,3,5,6 \\
1,4,5,6 \\
2,3,4,6 \\
2,3,5,6 \\
2,4,5,6 \\
3,4,5,6}\)

Ponadto \(\displaystyle{ {200\choose 4}=64684950}\)

Zatem: \(\displaystyle{ P\{X=6\}=\frac{10}{64684950}}\).

Spójrzmy z mojego wzoru:
\(\displaystyle{ P\{X=6\}=\frac{{6-1 \choose 3}}{ {200 \choose 4}}=\frac{{5 \choose 3}}{ {200 \choose 4}}=\frac{10}{64684950}}\)

Z Twojego wzoru:
\(\displaystyle{ P\{X=6\}=\frac{ {196 \choose 1} \cdot {199-6 \choose 3} }{ {200 \choose 4} }=\frac{ {196 \choose 1} \cdot {193 \choose 3} }{ {200 \choose 4} } = \frac{196 \cdot 1179616}{64684950}=\frac{231204736}{64684950} \approx 3.57432}\)

Dalej uważasz, że Twój tok myślenia jest dobry?
Ja uważam, za temat wyczerpany. Pokazałem, jakie jest prawidłowe rozumowanie, że jest ono niesprzeczne. Jeśli ktoś chce coś dodać do tego, zapraszam do dyskusji dalszej.