Obliczenia związane z dystrybuantą zmiennej losowej.

[Maciek1994]

Zmienna losowa dyskretna posiada rozkład: \(\displaystyle{ p _{k} = P(X = k) = \frac{1}{4 ^{k} }\cdot \frac{3}{4} , k = 0,1,2,...}\)
(a) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X (podaj wynik jak najzwięźlej).
(b) Korzystając z dystrybuanty, oblicz \(\displaystyle{ P(3 < X < 5)}\).
Dystrybuanta wyszła mi taka:
\(\displaystyle{ P(X=k)=\begin{cases} 0 &\mbox{ dla } k<10\\ \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4 ^{k} } &\mbox{ dla } k \ge 0\end{cases}}\)
I teraz zastanawiam się, dlaczego podpunkt \(\displaystyle{ b}\) nie może być rozwiązany w sposób przedstawiony poniżej?
\(\displaystyle{ P(3 < X < 5) = P(X < 5) - P(X < 3) = \sum_{k=0}^{ 5 } \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4 ^{k} } - \sum_{k=0}^{ \ 3 } \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4 ^{k} }}\)
Z góry dzięki za pomoc.

[szw1710]

Jeśli \(\displaystyle{ F(x)\,=\,P(X<x)}\), to \(\displaystyle{ P(a\le X<b)=F(b)-F(a)}\). Więc musisz też uwzględnić \(\displaystyle{ P(X=3)}\). A to jest \(\displaystyle{ F(3^+)-F(3)}\).