W każdej z dwu urn jest po 10 kul w 10 różnych kolorach. Jacek i Placek losują kule bez zwracania, Jacek tak długo, aż skompletuje 10 kul w którymś z kolorów, Placek - aż będzie miał przynajmniej jedną kulę w każdym kolorze. Średni czas eksperymentu Jacka jest dłuższy, równy, czy krótszy niż średni czas eksperymentu Placka?
Zadanie pochodzi z książki "Markowe wykłady z matematyki - mat. dyskretna", poprzedza je omówienie problemu kolekcjonera, w którym zakładamy 100 różnych rodzajów naklejek i obliczamy, ile średnio trzeba kupić produktów, aby mieć całą kolekcję. W przykładzie tym znajdujemy wzór na średnią liczbę produktów potrzebnych do zdobycia i=1,2,...n i-tej naklejki, następnie sumujemy te średnie po wszystkich i.
Tutaj nie bardzo wiem, jak się do tego zabrać. Oczywiście najprościej byłoby "tak samo", ale w przypadku Jacka już dla 2. kuli wzór staje się nieciekawy, bo możemy ciągnąć 0,1,2...9 kul wylosowanego wcześniej koloru (bez zwracania).
Jacek i Placek - czasy oczekiwania
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Jacek i Placek - czasy oczekiwania
Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzie zbiorem zdarzeń elementarnych dla tego zjawiska losowego. Traktujemy \(\displaystyle{ \Omega}\) jako zbiór ciągów \(\displaystyle{ \{a_n\}_{1\leq n\leq 100}}\) o wyrazach w zbiorze \(\displaystyle{ \{1,2,3,...,10\}}\), które \(\displaystyle{ 10}\)-razy przyjmują każdą wartość \(\displaystyle{ i}\) dla \(\displaystyle{ 1\leq i\leq 10}\).
Niech \(\displaystyle{ Y_i(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz pierwszy przyjmuje wartość \(\displaystyle{ i}\). Niech \(\displaystyle{ X_i(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz \(\displaystyle{ 10}\)-ty przyjmuje wartość \(\displaystyle{ i}\).
Teraz:
\(\displaystyle{ Y=\max_{1\leq i\leq 10}Y_i}\)
oraz:
\(\displaystyle{ X=\min_{1\leq i\leq 10}X_i}\)
W zadaniu chodzi o porównanie wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ X}\) z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ Y}\).
Definiujemy bijekcję \(\displaystyle{ \phi:\Omega\rightarrow \Omega}\) zadaną przez:
\(\displaystyle{ \phi(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})=\{b_n\}_{1\leq n\leq 100}}\)
Mamy wówczas:
\(\displaystyle{ X_i\cdot \phi(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})=101-Y_i(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})}\)
oraz:
\(\displaystyle{ (\min_{1\leq i\leq 10}X_i)\cdot \phi(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})=101-(\max_{1\leq i\leq 10}Y_i)(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \phi:\Omega \rightarrow \Omega}\) jest bijektywnym odwzorowanie przestrzeni probablistycznej z prawdopodobieństwem klasycznym. Oznacza to, że \(\displaystyle{ \phi}\) jest automorfizmem przestrzeni probablistycznej. Zatem uzyskujemy:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\mathbb{E}(\min_{1\leq i\leq 10}X_i)=\mathbb{E}((\min_{1\leq i\leq 10}X_i)\cdot \phi)=101-\mathbb{E}(\max_{1\leq i\leq 10}Y_i)=101-\mathbb{E}Y}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X+\mathbb{E}Y=101}\)-- 2 lip 2016, o 20:09 --Z tego w szczególności wynika, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}X\neq \mathbb{E}Y}\).
W dalszej części rozwiązania potrzebne będzie pojęcie rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\). Rozkładem \(\displaystyle{ \mu_Z}\) jest probabilistyczna miara na prostej \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) zadana przez:
\(\displaystyle{ \mu_Z(A)=P(Z^{-1}(A))}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem borelowskim. Wartość oczekiwana zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) zależy tylko od jej rozkładu.
Teraz rozważmy nieco inną przestrzeń probabilistyczną z prawdopodobieństwem klasycznym. Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzię zbiorem ciągów \(\displaystyle{ \{a_n\}_{1\leq n\leq 100}}\) o wyrazach w produkcie \(\displaystyle{ \{1,2,...,10\}\times\{1,2,...,10\}}\), które dokładnie raz przyjmują każdą wartość \(\displaystyle{ (i,j)\in \{1,2,...,10\}\times\{1,2,...,10\}}\). Niech \(\displaystyle{ X'_i}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz dziesiąty przyjmuje parę z pierwszą współrzędną \(\displaystyle{ i}\). Niech \(\displaystyle{ Z'_j}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz dziesiąty przyjmuje parę z drugą współrzędną \(\displaystyle{ j}\). Niech \(\displaystyle{ Y'_i}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz pierwszy przyjmuje parę z pierwszą współrzędną \(\displaystyle{ i}\). Definiujemy:
\(\displaystyle{ X'=\min_{1\leq i\leq 10} X'_i}\)
\(\displaystyle{ Z'=\min_{1\leq j\leq 10} Z'_j}\)
oraz:
\(\displaystyle{ Y'=\max_{1\leq i\leq 10} Y'_i}\)
Teraz czas na kluczowe obserwacje. Zmienne losowe \(\displaystyle{ X'}\), \(\displaystyle{ Z'}\) mają ten sam rozkład co zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) zdefiniowana wyżej tj:
\(\displaystyle{ \mu_{X'}=\mu_{Z'}=\mu_{X}}\)
Podobnie zmienna losowa \(\displaystyle{ Y'}\) ma ten sam rozkład co zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) zdefiniowana wyżej tj:
\(\displaystyle{ \mu_{Y'}=\mu_Y}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ Y'\leq Z'}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y=\mathbb{E}Y'\leq \mathbb{E}Z'=\mathbb{E}X'=\mathbb{E}X}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y\leq \mathbb{E}X}\)
Z tego, że równość nie może zachodzić otrzymujemy, iż:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y<\mathbb{E}X}\)
Niech \(\displaystyle{ Y_i(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz pierwszy przyjmuje wartość \(\displaystyle{ i}\). Niech \(\displaystyle{ X_i(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz \(\displaystyle{ 10}\)-ty przyjmuje wartość \(\displaystyle{ i}\).
Teraz:
\(\displaystyle{ Y=\max_{1\leq i\leq 10}Y_i}\)
oraz:
\(\displaystyle{ X=\min_{1\leq i\leq 10}X_i}\)
W zadaniu chodzi o porównanie wartości oczekiwanej \(\displaystyle{ X}\) z wartością oczekiwaną \(\displaystyle{ Y}\).
Definiujemy bijekcję \(\displaystyle{ \phi:\Omega\rightarrow \Omega}\) zadaną przez:
\(\displaystyle{ \phi(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})=\{b_n\}_{1\leq n\leq 100}}\)
Mamy wówczas:
\(\displaystyle{ X_i\cdot \phi(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})=101-Y_i(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})}\)
oraz:
\(\displaystyle{ (\min_{1\leq i\leq 10}X_i)\cdot \phi(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})=101-(\max_{1\leq i\leq 10}Y_i)(\{a_n\}_{1\leq n\leq 100})}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \phi:\Omega \rightarrow \Omega}\) jest bijektywnym odwzorowanie przestrzeni probablistycznej z prawdopodobieństwem klasycznym. Oznacza to, że \(\displaystyle{ \phi}\) jest automorfizmem przestrzeni probablistycznej. Zatem uzyskujemy:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\mathbb{E}(\min_{1\leq i\leq 10}X_i)=\mathbb{E}((\min_{1\leq i\leq 10}X_i)\cdot \phi)=101-\mathbb{E}(\max_{1\leq i\leq 10}Y_i)=101-\mathbb{E}Y}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X+\mathbb{E}Y=101}\)-- 2 lip 2016, o 20:09 --Z tego w szczególności wynika, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}X\neq \mathbb{E}Y}\).
W dalszej części rozwiązania potrzebne będzie pojęcie rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\). Rozkładem \(\displaystyle{ \mu_Z}\) jest probabilistyczna miara na prostej \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) zadana przez:
\(\displaystyle{ \mu_Z(A)=P(Z^{-1}(A))}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem borelowskim. Wartość oczekiwana zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) zależy tylko od jej rozkładu.
Teraz rozważmy nieco inną przestrzeń probabilistyczną z prawdopodobieństwem klasycznym. Niech \(\displaystyle{ \Omega}\) będzię zbiorem ciągów \(\displaystyle{ \{a_n\}_{1\leq n\leq 100}}\) o wyrazach w produkcie \(\displaystyle{ \{1,2,...,10\}\times\{1,2,...,10\}}\), które dokładnie raz przyjmują każdą wartość \(\displaystyle{ (i,j)\in \{1,2,...,10\}\times\{1,2,...,10\}}\). Niech \(\displaystyle{ X'_i}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz dziesiąty przyjmuje parę z pierwszą współrzędną \(\displaystyle{ i}\). Niech \(\displaystyle{ Z'_j}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz dziesiąty przyjmuje parę z drugą współrzędną \(\displaystyle{ j}\). Niech \(\displaystyle{ Y'_i}\) będzie indeksem ciągu, w którym ciąg po raz pierwszy przyjmuje parę z pierwszą współrzędną \(\displaystyle{ i}\). Definiujemy:
\(\displaystyle{ X'=\min_{1\leq i\leq 10} X'_i}\)
\(\displaystyle{ Z'=\min_{1\leq j\leq 10} Z'_j}\)
oraz:
\(\displaystyle{ Y'=\max_{1\leq i\leq 10} Y'_i}\)
Teraz czas na kluczowe obserwacje. Zmienne losowe \(\displaystyle{ X'}\), \(\displaystyle{ Z'}\) mają ten sam rozkład co zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) zdefiniowana wyżej tj:
\(\displaystyle{ \mu_{X'}=\mu_{Z'}=\mu_{X}}\)
Podobnie zmienna losowa \(\displaystyle{ Y'}\) ma ten sam rozkład co zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) zdefiniowana wyżej tj:
\(\displaystyle{ \mu_{Y'}=\mu_Y}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ Y'\leq Z'}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y=\mathbb{E}Y'\leq \mathbb{E}Z'=\mathbb{E}X'=\mathbb{E}X}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y\leq \mathbb{E}X}\)
Z tego, że równość nie może zachodzić otrzymujemy, iż:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y<\mathbb{E}X}\)