Sprawdzenie zadania z prawdopodobieństwa zdarzeń

[Maciek1994]

Witam, będę wdzięczny za sprawdzenie poprawności rozwiązania: Zdarzenia losowe \(\displaystyle{ A,B,C,D,E}\) są niezależne oraz \(\displaystyle{ P(A) = a, P(B) = b, P(C) = c, P(D) = d, P(E) = e}\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
\(\displaystyle{ P((A \cup B \cup C) \cap D \cap E) = ((P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)) \cdot P(D) \cdot P(E) = ((P(A)+P(B)+P(C)-P(A) \cdot P(B)-P(A) \cdot P(C)-P(B) \cdot P(C)+P(A) \cdot P(B) \cdot P(C))) \cdot P(D) \cdot P(E) = ((a+b+c-a \cdot b-a \cdot c-b \cdot c+a \cdot b \cdot c)) \cdot d \cdot e}\)

[M Maciejewski]

Jest tu kilka niejasności.
Pierwsza równość: porównujesz zbiór z liczbą? (czy może być tak, że \(\displaystyle{ [0,1]=0,15}\)?)
Drugie wyrażenie: co to \(\displaystyle{ A\cap B\cap P(C)}\)? (co to \(\displaystyle{ [0,1]\cap [0,1/2]\cap 0,17}\)?)
Drugie wyrażenie: co to \(\displaystyle{ P(D)\cap P(E)}\)? (co to \(\displaystyle{ 0,5\cap 0.7}\)?)

[Maciek1994]

Nie zauważyłem przy przepisywaniu, już poprawiłem. Rozwiązanie jest poprawne?

[M Maciejewski]

Teraz tak, ale wciąż pierwsza równość jest niepoprawna. Nie można porównywać zbioru z liczbą. Brakuje w pierwszym wyrażeniu \(\displaystyle{ P}\).

[Maciek1994]

Poprawione. Mam jeszcze wątpliwości do tych, będę wdzięczny za sprawdzenie:
\(\displaystyle{ a)P((A \cup B) \cap C) \cup D)=((P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)) \cdot P(C)+P(D)-(P(A)+P(B)-P(A) \cdot P(B)) \cdot P(C) \cdot P(D) = (a+b-ab) \cdot c+d-(a+b-ab) \cdot cd}\)

\(\displaystyle{ b)(A' \cap B') \cup (A \cap B)=P(A') \cdot P(B')+P(A) \cdot P(B)-0=(1-a) \cdot (1-b)+ab-0}\)

[M Maciejewski]

Punkt a) jest dobrze, ale ZNOWU ten sam błąd.
Punkt b) jest źle, ponieważ zdarzenia \(\displaystyle{ A'\cap B'}\) oraz \(\displaystyle{ A\cap B}\) nie są niezależne. Są one natomiast rozłączne, więc da się łatwo poprawić.

[Maciek1994]

Już lepiej?

[M Maciejewski]

Lepiej, ale ZNOWU ten sam błąd w (b). Cały czas.

[Maciek1994]

\(\displaystyle{ P(A' \cap B') + P(A \cap B)=P(A') \cdot P(B')+P(A) \cdot P(B)-0=(1-a) \cdot (1-b)+ab-0}\)
Ale to może być tak zapisane?

[M Maciejewski]

\(\displaystyle{ P(A' \cap B') \cup P(A \cap B)=P(A') \cdot P(B')+P(A) \cdot P(B)-0=(1-a) \cdot (1-b)+ab-0}\)

Nooo nieee.
Przecież \(\displaystyle{ P(A' \cap B')}\) i \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) to liczby. Co to oznacza \(\displaystyle{ 0,2\cup 0,7}\) ?