Losowanie królików z kapelusza.

[Maciek1994]

Czy ktoś może mi wyjaśnić, dlaczego w tym zadaniu:
"W kapeluszu są dwa króliki czarne i trzy białe. Losujemy kolejno, ze zwracaniem dwa z nich. Niech A będzie zdarzeniem, że oba wyciągnięte króliki są białe. Zbuduj model przestrzeni klasycznej dla tego doświadczenia, czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A."
Nie możemy użyć do obliczenia zdarzeń sprzyjających wzoru na kombinację z powtórzeniami i wybrać \(\displaystyle{ 2}\) elementów z \(\displaystyle{ 3}\), a do obliczenia \(\displaystyle{ \Omega}\) również użyć wzoru na kombinację z powtórzeniami, tylko wybrać \(\displaystyle{ 2}\) elementy z \(\displaystyle{ 5}\)?

[janusz47]

Bo losujemy króliki kolejno niejednocześnie.

[kropka+]

Można, tylko zapis będzie dość skomplikowany.
Żeby wszystkie zdarzenia były jednakowo prawdopodobne, to rozróżniamy wszystkie króliki, czyli mamy \(\displaystyle{ c _{1} ,c _{2} ,b _{1} ,b _{2} ,b _{3}}\)
Liczba zdarzeń sprzyjających to kombinacja \(\displaystyle{ 2-}\) elementowa z powtórzeniami ze zbioru \(\displaystyle{ 3-}\) elementowego mnożona przez \(\displaystyle{ 2!}\), bo kolejność jest ważna i od tego trzeba odjąć \(\displaystyle{ 3}\), bo nie liczymy kolejności dla par \(\displaystyle{ (b _{1} ,b _{1}),(b _{2} ,b _{2}),(b _{3} ,b _{3})}\). Czyli dostajemy

\(\displaystyle{ \left| A\right|= {2+3-1 \choose 2} \cdot 2!-3=9}\)

Analogicznie

\(\displaystyle{ \left| \Omega \right|= {2+5-1 \choose 2} \cdot 2!-5=25}\)

Znacznie prostszy jest więc zapis \(\displaystyle{ \left| A\right|=3 \cdot 3=9}\) (bo na pierwszym miejscu jest jeden z trzech królików i na drugim też jeden z trzech) i analogicznie \(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=5 \cdot 5=25}\)

[Maciek1994]

Trochę dziwnie, bo wychodzi na to, że wybierając nierozróżnialne elementy, ale niejednocześnie i tak musimy przyjmować, że są one rozróżnialne. Czyli wychodzi na to, że przy takim losowaniu nie ma dla nas znaczenia, czy są one rozróżnialne, czy też nie. Dobrze myślę?

[kropka+]

Zbuduj model przestrzeni klasycznej dla tego doświadczenia, czyli takiej, w której wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

Rozróżnienie wprowadziłam tylko po to, żeby wykonać powyższe polecenie - wtedy mamy \(\displaystyle{ 25}\) możliwych zdarzeń i prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{25}}\). Dalsze obliczenia to odpowiedź na Twoje pytanie o wariacje z powtórzeniami. Na koniec pokazałam, jak się liczy normalnie to prawdopodobieństwo - z zadania wynika, że króliki jednego koloru są nierozróżnialne, więc
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{3 ^{2} }{5 ^{2} }}\)
W przypadku elementów nierozróżnialnych można (ale nie trzeba) przyjąć, że są rozróżnialne, byle tylko \(\displaystyle{ \left| A\right|}\) i \(\displaystyle{ \left|\Omega\right|}\) były liczone przy takim samym założeniu.
A jak Ty chciałeś liczyć \(\displaystyle{ P(A)}\)?

[janusz47]

Doświadczenie dwuetapowe:

losowanie ze zwracaniem pierwszego królika- etap 1
losowanie ze zwracaniem drugiego królika - etap 2

Model etapu 1

\(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1})}\)

\(\displaystyle{ \Omega_{1}=\left\{<\omega_{1}>: \omega{1}\in \left\{c, c, b, b, b\right\}\}.}\)

\(\displaystyle{ P_{1}(\omega)= \frac{1}{|\Omega_{1}|}= \frac{1}{5}.}\)

Model etapu 2

\(\displaystyle{ (\Omega_{1}, P_{1})}\)

\(\displaystyle{ \Omega_{2}=\left\{<\omega_{2}>: \omega_{2}\in \left\{c ,c, b, b, b\right\}\right\}.}\)

\(\displaystyle{ P_{2}(\omega)= \frac{1}{|\Omega_{2}|} = \frac{1}{5}.}\)

Model doświadczenia dwuetapowego

\(\displaystyle{ (\Omega , P)}\)

\(\displaystyle{ \Omega = \Omega_{1} \times \Omega_{2}}\)

\(\displaystyle{ \Omega = \left\{\langle \omega_{1}, \omega_{2}\rangle: \omega_{1}, \omega_{2}\in \left\{c, c, b, b, b\right\}\right\}.}\)

\(\displaystyle{ P(\omega) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac{1}{5^{2}}.}\)

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie " wylosowano dwie kule białe"

\(\displaystyle{ A = \left\{\langle \omega_{1}, \omega_{2}\rangle : \omega_{1}, \omega_{2}\in \left\{b, b, b\right\}\}}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{3^{2}}{5^{2}}= \frac{9}{25}.}\)

Interpretacja otrzymanego wyniku

Realizując doświadczenie losowe - dwuetapowe może oczekiwać, że w \(\displaystyle{ 36\%}\) ogólnej liczby jego wyników będziemy otrzymywać dwie kule białe.

[Maciek1994]

A jak Ty chciałeś liczyć \(\displaystyle{ P(A)}\)?

Tak jak dla kombinacji z powtórzeniami, zarówno dla \(\displaystyle{ P(A)}\), jak i \(\displaystyle{ \Omega}\):
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ \frac{(3+2-1)!}{2! \cdot (3-1)!} }{ \frac{(5+2-1)!}{2! \cdot (5-1)!} }}\)
Czyli wychodzi na to, że tak jak wspominałem, wybierając nierozróżnialne elementy niejednocześnie, przyjmujemy, że są one rozróżnialne i wtedy wyliczamy wzorem na wariancję z powtórzeniami? Trochę dziwnie, bo tutaj zgodnie z założeniami idealnie by właśnie pasował zaproponowany przeze mnie wzór na kombinacje z powtórzeniami, ale to oczywiście tylko moje zdanie i w dodatku błędne.

[janusz47]

Nierozróżnialne elementy wybierane kolejno stają się rozróżnialne, bo I etap- pierwszy element
II etap - drugi element.


Czytając zadanie z Rachunku Prawdopodobieństwa musimy zadać sobie pytanie " na czym polega doświadczenie losowe opisane w zadaniu"?

Profesor Tadeusz Kubik z Uniwersytetu Warszawskiego powtarzał " rozwiązywanie zadań z tego działu matematyki to modelowanie doświadczeń losowych".

[Maciek1994]

Ok, to w takim razie w takim zadaniu:
Spotykamy na ulicy znajomego z dzieciństwa.
a)Okazuje sie, że ma on dwójkę dzieci i co najmniej jedno z nich jest dziewczynką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że drugie dziecko też jest dziewczynką? Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
b)Okazuje sie, że ma on dwójkę dzieci i że starsze z nich jest dziewczynką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że drugie dziecko też jest dziewczynką? Odpowiedź: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

a) Naszym zbiorem elementów \(\displaystyle{ \Omega}\) jest \(\displaystyle{ (D,C),(C,D),(D,D)}\). W zbiorze jest jedno zdarzenie sprzyjające, zatem odpowiedź \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Rozumiem, że gdyby nie zostało wcześniej określone, że jedno z dzieci jest dziewczynką, to wtedy kolejność by nie miała znaczenia i \(\displaystyle{ \Omega}\) by wyglądała tak \(\displaystyle{ (D,C),(C,D),(D,D),(C,C)}\)? Natomiast jako, że już mamy z góry wybrany jeden element, to zakładamy, że następuje wybieranie elementów kolejno i stają się one rozróżnialne, stąd zawarte jest \(\displaystyle{ (D,C),(C,D)}\), a nie samo \(\displaystyle{ (D,C)}\), czy też\(\displaystyle{ (C,D)}\)?
b) Tutaj naszym zbiorem \(\displaystyle{ \Omega}\) jest \(\displaystyle{ (D,D),(C,D)}\). Jednak, jeżeli w zadaniu jest informacja o tym, że jedno z dzieci jest starsze, to chyba należy zakładać, że kolejność również odgrywa tutaj znaczenie, a wtedy elementy również stają się rozróżnialne? Jeżeli tak, to w \(\displaystyle{ \Omega}\) powinniśmy zawrzeć również \(\displaystyle{ (D,C)}\)? Przecież kolejność występowania zmiennych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) w zapisie \(\displaystyle{ (x,y)}\) nie musi być wcale zależna od wieku. Czy jeżeli wzmianka w zadaniu jest o długości życia, to z góry zakładamy, że taki zapis bierze pod uwagę w tym konkretnym przypadku, że pozycja w \(\displaystyle{ (x,y)}\) tyczy się wieku i \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\) jest starsze, a w zapisie \(\displaystyle{ (y,x)}\) starsze jest to drugie, zatem odpada i zawieramy tylko jedno w naszej \(\displaystyle{ /Omega\(\displaystyle{ ?

Rozwiązania miałem podane, jednak będę wdzięczny za weryfikację poprawności moich przemyśleń, sposobu rozumowania oraz odpowiedzi na pytania.}\)}\)

[janusz47]

Twoje rozumowania są poprawne.

[Maciek1994]

Nierozróżnialne elementy wybierane kolejno stają się rozróżnialne.

Gdyby komuś przyszło do głowy więcej wskazówek tego typu, to będę bardzo wdzięczny za podzielenie się nimi, ponieważ podana wyżej informacja jest bardzo przydatna w rozwiązywaniu również innych zadań. Oczywiście sporo takich zasad odkrywamy sami podczas przerabiania kolejnych problemów, ale może akurat ktoś już przerobił sporą ich ilość i podzieli się wyciągniętymi wnioskami.

[janusz47]

Polecam książkę

Lech Tadeusz Kubik Rachunek Prawdopodobieństwa. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych. Wydanie drugie zmienione. PWN Warszawa 1980.