1) Jeżeli \(\displaystyle{ P(A|B)>P(A)}\), to wiemy, że zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) zwiększa prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ A}\), a jak wpływa \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ B}\)?
2) Czy zawsze istnieje wartość oczekiwana zmiennej losowej? Jeśli nie, to kiedy jej nie ma?
Prawdopodobieństwo warunkowe, wartość oczekiwana
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Prawdopodobieństwo warunkowe, wartość oczekiwana
1) wystarczy się trochę pobawić definicją prawdopodobieństwa warunkowego:
zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A|B)\mathbf{P}(B)=\mathbf{P}(B|A)\mathbf{P}(A)}\) (bo obie strony to z def. prawdopodobieństwa warunkowego po prostu \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cap B)}\); to działa, o ile żadne z tych prawdopodobieństw \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A), \mathbf{P}(B)}\)nie jest zerowe).
Skoro mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A|B)>\mathbf{P}(A)}\), to z powyższej równości i z zastosowania ostatniej nierówności dostajemy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(B|A)\mathbf{P}(A)>\mathbf{P}(A)\mathbf{P}(B)}\)
i stąd o ile tylko \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)>0}\) po podzieleniu stronami dostajemy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B|A)>\mathbf{P}(B)}\), zatem (jak pisali panowie Jakubowski i Sztencel - "co może niektórym wydawać się nieintuicyjne") jeśli zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) zwiększa prawdopodobieństwo wystąpienia \(\displaystyle{ BA}\), to również \(\displaystyle{ A}\) zwiększa prawdopodobieństwo wystąpienia \(\displaystyle{ B}\).
2) nie zawsze istnieje; by ona istniała, musi być \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|<\infty}\) (i jest to też warunek dostateczny; to jest odpowiednia całka w abstrakcyjnej przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\), co w konkretnym przypadku z tw. o transporcie zamienia się na całkę Lebesgue'a lub sumę - wymagamy więc bezwzględnej zbieżności pewnej całki lub szeregu). Przykład: niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Cauchy'ego (ten najbardziej standardowy, choć działa też oczywiście z przesunięciem) o gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\pi(1+x^{2})}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ \int_{\RR}^{} \frac{|x|}{\pi(1+x^2)}dx}\) jest rozbieżna, zatem nie istnieje wartość oczekiwana \(\displaystyle{ X}\).
zauważmy, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A|B)\mathbf{P}(B)=\mathbf{P}(B|A)\mathbf{P}(A)}\) (bo obie strony to z def. prawdopodobieństwa warunkowego po prostu \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cap B)}\); to działa, o ile żadne z tych prawdopodobieństw \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A), \mathbf{P}(B)}\)nie jest zerowe).
Skoro mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A|B)>\mathbf{P}(A)}\), to z powyższej równości i z zastosowania ostatniej nierówności dostajemy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(B|A)\mathbf{P}(A)>\mathbf{P}(A)\mathbf{P}(B)}\)
i stąd o ile tylko \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)>0}\) po podzieleniu stronami dostajemy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(B|A)>\mathbf{P}(B)}\), zatem (jak pisali panowie Jakubowski i Sztencel - "co może niektórym wydawać się nieintuicyjne") jeśli zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) zwiększa prawdopodobieństwo wystąpienia \(\displaystyle{ BA}\), to również \(\displaystyle{ A}\) zwiększa prawdopodobieństwo wystąpienia \(\displaystyle{ B}\).
2) nie zawsze istnieje; by ona istniała, musi być \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|<\infty}\) (i jest to też warunek dostateczny; to jest odpowiednia całka w abstrakcyjnej przestrzeni \(\displaystyle{ \Omega}\), co w konkretnym przypadku z tw. o transporcie zamienia się na całkę Lebesgue'a lub sumę - wymagamy więc bezwzględnej zbieżności pewnej całki lub szeregu). Przykład: niech zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Cauchy'ego (ten najbardziej standardowy, choć działa też oczywiście z przesunięciem) o gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{\pi(1+x^{2})}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ \int_{\RR}^{} \frac{|x|}{\pi(1+x^2)}dx}\) jest rozbieżna, zatem nie istnieje wartość oczekiwana \(\displaystyle{ X}\).