Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Moniak137 · Post autor: **Moniak137** » 20 cze 2016, o 21:01

Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)-P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C)}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 20 cze 2016, o 21:03

Posłuż się znanym wzorem na prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń. Rozbij to na \(\displaystyle{ D=B\cup C}\) i zastosuj ten wzór najpierw dla \(\displaystyle{ A\cup D}\), a potem zobaczysz dla jakich zdarzeń.

Moniak137 · Post autor: **Moniak137** » 20 cze 2016, o 22:33

Coś mi nie wychodzi. Mogę prosić o rozpisanie?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 20 cze 2016, o 22:33

Zacznij jak proponuję.

Moniak137 · Post autor: **Moniak137** » 20 cze 2016, o 22:53

\(\displaystyle{ P(A \cup D)=P(A)+P(D)-P(A \cap D)=P(A)+P(B \cup C)-P(A \cap (B \cup C))=P(A)+P(B \cup C)-P((A \cap B) \cup (A \cap C))}\)-- 21 cze 2016, o 11:27 --I co mi to daje? Co dalej mam rozpisać?

drzasa · Post autor: **drzasa** » 22 cze 2016, o 12:27

Spróbuj użyć wyszukiwarki. Wystarczy wpisać wzór włączeń i wyłączeń, i przeprowadzić sb dowód dla n=3. ewentualnie wpisz w google reguła sita

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 23 cze 2016, o 23:22

Moniak137 pisze:I co mi to daje? Co dalej mam rozpisać?

\(\displaystyle{ P(A)+P(B \cup C)-P((A \cap B) \cup (A \cap C))=}\)
\(\displaystyle{ =P(A)+[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]-[ P(A \cap B)+P(A \cap C)-P(A \cap B \cap A \cap C)]=}\)
\(\displaystyle{ =P(A)+P(B)+P(C)-P(B \cap C)-P(A \cap B)-P(A \cap C)+P(A \cap B \cap C)}\)