Dwuwymiarowa zmienna losowa

[Sarken]

Czy ktoś mógłby sprawdzić poprawność i pomóc z punktem d)? Nie wiem jak do tego podejść.

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład jednostajny w trójkącie o wierzchołkach (0,2), (0,0), (2,2) (nie 2,0).
a) opisać gęstość rozkładu zmiennej losowej,
b) wyznaczyć gęstości rozkładów brzegowych,
c) wyznaczyć funkcję rozkładu warunkowego zmiennej Y pod warunkiem X=x,
d) wyznaczyć funkcję regresji I rodzaju zmiennej Y względem X

\(\displaystyle{ D=\left\{ \left( x,y\right) \in R^{2} : 0 \le x \le 2 \wedge x \le y \le 2 \right\} \\

a) \\
\int_{0}^{2} \int_{x}^{2}c \mbox{d}y \mbox{d}x=1 \Rightarrow c= \frac{1}{2} \\

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2} \ dla \ (x,y) \in D \\ 0 \ dla \ (x,y) \not\in D \end{cases} \\

b) \\
f_{x}(X)= \int_{x}^{2} \frac{1}{2} \mbox{d}y = 1- \frac{1}{2}x \\
f_{y}(Y)= \int_{0}^{2} \frac{1}{2} \mbox{d}x = 1 \\

c) \\
f(y \vline x) = \frac{f(x,y)}{f _{x}X } = \frac{ \frac{1}{2} }{1- \frac{1}{2} x}}\)

Nie wiem, czemu to się rozsypało, ale f(x,y) powinno być w licziku, a to za równa się jako wynik.

[mostostalek]

Czy granice całkowania są aby na pewno dobrze? nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{0}^{-x+2}}\).. Ty bierzesz pod uwage inny trójkąt.. co prawda o takim samym polu itd, ale reszta obliczeń się zmieni

[Sarken]

Aj pomyliłem się przepisując polecenie. Tam ostatni punkt jest (2,2). Tylko, że z tego co czytałem te rozkłady brzegowe powinny być stałymi a w pierwszym wychodzi mi funkcja, nie stała. Nie jestem tego pewien.

#EDIT Jednak nie muszą być stałymi z tego co patrzę po innych zadaniach, a w Krysickim pisało coś takiego chyba.

I w tym drugim rozkładzie chyba ma być od 0 do "y" po dx. Mam rację?

Nie wiem jednak co z tym d) :/