Znajdź dystrybuantę wektora.

[Maciek1994]

Witam, mam takie polecenie: Dana jest gęstość wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{16} \cdot (x+y) \quad x \in [0,2] \ oraz \ y \in [2,4], \\ 0 \quad w\ p.w.\end{cases}}\)
Moim zadaniem jest znalezienie dystrybuanty wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\).
Mamy wzór \(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^{x_1} \int_{-\infty}^{x_2} f(x,y)dxdy}\), tylko nie wiem w jaki sposób stworzyć rysunek i na jego podstawie określić przedziały. A może jest jakiś inny prostszy sposób? Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

[SlotaWoj]

• \(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{2}^{y}\int_{0}^{x}f(t,u)\,dt\,du}\)

[Maciek1994]

Obliczyłem to i wyszło \(\displaystyle{ 1}\), ale chyba nie o to chodziło.

[SlotaWoj]

To ja źle napisałem. Poprawiłem.

[Maciek1994]

Trochę nie rozumiem jak postępować w przypadku, gdy obliczamy dystrybuantę dla wektora, a nie dla jednej zmiennej. Mianowicie z \(\displaystyle{ F(x,y)= \int_{2}^{y}\int_{0}^{x}f(t,u)\,dt\,du}\) wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{ x^{2} \cdot y }{32}+ \frac{ x \cdot y^{2} }{32} - \frac{x ^{2} }{16} - \frac{x}{8}}\) I nie wiem, czy zapisać to w ten sposób, że:
\(\displaystyle{ F(X)= \begin{cases}
0 \quad dla \quad x < (0,2) \ oraz \ y < (2,4),\\
\frac{ x^{2} \cdot y }{32}+ \frac{ x \cdot y^{2} }{32} - \frac{x ^{2} }{16} - \frac{x}{8} \quad dla \quad x \in [0,2] \ oraz \ y \in [2,4],\\ 0 \quad
1 dla \quad x > (0,2) \ oraz \ y > (2,4)\end{cases}}\)
Najprawdopodobniej wszystko jest źle, więc będę wdzięczny za pomocne wskazówki.

[SlotaWoj]

Ja napisałbym tak:

• \(\displaystyle{ \newrgbcolor{dr}{0.5 0 0}
  F(x,y)=\begin{cases}
  \text{dla }\ x<0\ {\dr{\vee}}\ y<2 \ :\quad0 \\
  \text{w p.p. } \quad\quad\quad\quad\quad\ :\quad\frac{\min^2(x,2)\min(y,4)}{32}+\frac{\min(x,2)\min^2(y,4)}{32}-\frac{\min^2(x,2)}{16}-\frac{\min(x,2)}{8}
  \end{cases}}\)

co gwarantuje ciągłość dystrybuanty w całym zbiorze \(\displaystyle{ \RR^2}\).

Miałem problem z rozstrzygniecie poprawności tej dystrybuanty, bo początkowo wydawało mi się, że funkcja gęstości jest dziwnie zdefiniowana (oczekiwałem, że tam gdzie dystrybuanta jest zmienna, funkcja gęstości powinna być różna od zera), ale wszystko wyjaśniła całka w definicji dystrybuanty.

W obszarach \(\displaystyle{ x>2\ \wedge\ 2\le y\le4 \quad\text{i}\quad 0\le x\le2\ \wedge\ y>4}\) rozkład jest de facto jednowymiarowy.

Edit:
Poprawiłem błąd, który Kinia7 zasygnalizowała poniżej.

[kinia7]

Ja napisałbym tak:

• \(\displaystyle{ F(x,y)=\begin{cases}
  \text{dla }\ x<0\ \wedge\ y<2 \ :\quad0 \\
  \text{w p.p. } \ \,\quad\quad\quad\quad\quad\ :\quad\frac{\min^2(x,2)\min(y,4)}{32}+\frac{\min(x,2)\min^2(y,4)}{32}-\frac{\min^2(x,2)}{16}-\frac{\min(x,2)}{8}
  \end{cases}}\)

Nie wiem co ja źle robię, ale mnie wychodzi \(\displaystyle{ F(-1,3)=-\frac18}\)

edit
właśnie, "i" czy "lub" - to jest bardzo duża różnica
kiedyś Aleksandra Jakubowska za usunięcie \(\displaystyle{ "\vee"}\) dostała 8 miesięcy (w zawieszeniu na 2 lata)