Splot rozklady normalne

[leg14]

Załóżmy, że mam dwie zmienne niezależne z tym samym rozkładem o gęstości \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{\pi} }e^{- \frac{(x-2)^2}{4}}}\).Chciałbym znaleźć rozkład ich sumy. No więc wiem oczywiście, że tą gęstością będzie splot ich gęstości, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{4 \pi} \int_{\RR}^{} e^{- \frac{(x-y-2)^2}{4}}e^{- \frac{(y-2)^2}{4}}dy}\)
Jest jakiś sposób, żeby to uprościć? Z góry dzięki za odpowiedź.

[Premislav]

Jest jakiś sposób, żeby to uprościć?

Tak (kiedyś mnie to pokonało na kartkówce). Mianowice:
\(\displaystyle{ \frac{(x-y-2)^2}{4}+ \frac{(y-2)^2}{4}= \frac{\left( \sqrt{2}y- \frac{1}{\sqrt{2}}x \right)^2 }{4}+ \frac{(x-4)^2}{8}}\), zatem uzyskujesz
\(\displaystyle{ \frac{1}{4\pi} \int_{\RR}^{}e^{- \frac{(x-4)^2}{8} }e ^{- \frac{\left( y-\frac 1 2 x\right)^2 }{2} } dy}\)
Część, która nie zależy od \(\displaystyle{ y}\), można oczywiście wyłączyć przed całkę.

Jeśli wolisz mniej obliczeniowe rozwiązanie (moim zdaniem takie rozkładanie wielomianów na sumy kwadratów niczemu nie służy), to może zainwestuj w funkcje tworzące momenty lub funkcje charakterystyczne (te drugie są bardziej uniwersalne, bo funkcja charakterystyczna istnieje dla każdego rozkładu prawdopodobieństwa).

-- 16 cze 2016, o 23:58 --

Aha, no może dalej nie napisałem co robimy. Nie wiem w sumie, czy to już jest dla Ciebie oczywiste, czy też uznałeś to za nieprzydatne.
\(\displaystyle{ \frac{1}{4\pi} \int_{\RR}^{}e^{- \frac{(x-4)^2}{8} }e ^{- \frac{\left( y-\frac 1 2 x\right)^2 }{2} } dy= \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \int_{\RR}^{} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{\left( y-\frac 1 2 x\right)^2 }{2} } \mbox{d}y}\)
i w tej calce podstawiamy \(\displaystyle{ t=y- \frac{1}{2}x}\) - mamy całkę po gęstości rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\), czyli...
i otrzymujemy, tak jak mogliśmy się spodziewać, gęstość rozkładu \(\displaystyle{ \mathcal{N}(4,4)}\).

-- 16 cze 2016, o 23:59 --

[drugi parametr to wariancja]

-- 17 cze 2016, o 00:23 --

O rany, parafrazując pewne hasło z jednej kampanii społecznej piłeś - nie pisz. Powinno być
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{(x-4)^2}{8} } \int_{\RR}^{} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{\left( y-\frac 1 2 x\right)^2 }{2} } \mbox{d}y}\)