dystrybuanta rozkładu normalnego

[major37]

Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny \(\displaystyle{ N(a,b)}\). Obliczyć:
a) \(\displaystyle{ P(X>-t)}\)
To otrzymamy \(\displaystyle{ \\ \Phi \left( -t \right)}\)

Moje pytanie jest jak odczytać wartość ujemną z tablic ? Odczytać to samo dla wartości dodatniej ?

[Majeskas]

Dystrybuanta rozkładu normalnego nie jest funkcją parzystą, ale ma za to inną miłą własność.

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>-t)=1-\mathbb{P}(X\le-t)=\ldots}\)

[major37]

Dalej nie rozumiem jak dokończyć to Twoje ponieważ nie wiem co z tym zrobić \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X\le-t)=\ldots}\) Ponieważ mam zapisane, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X\le-t)}\) dla \(\displaystyle{ t<0}\) to mamy \(\displaystyle{ 1- \Phi \left( -t \right)}\)



A co jeśli mam tak. \(\displaystyle{ \Phi \left( a \right) - \Phi \left( -t \right)}\)

[Majeskas]

Wystarczy wiedzieć, co to jest dystrybuanta. \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X>-t)=1-\mathbb{P}(X\le-t)=1-\Phi(-t)}\). Pierwsza równość jest tylko stąd, że \(\displaystyle{ \left\{ X\le-t\right\}}\) jest zdarzeniem przeciwnym do \(\displaystyle{ \left\{ X>-t\right\}}\).

-- 16 czerwca 2016, 13:08 --

Dobra, chyba zrozumiałem, w czym problem. Pokażę na przykładzie. Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie gęstością standardowego rozkładu normalnego. Chcemy obliczyć \(\displaystyle{ \Phi(-5)}\). Mamy

\(\displaystyle{ \Phi(-5)=\int_{-\infty}^{-5}g(x)\,dx=\int_{5}^{\infty}g(x)\,dx=\mathbb{P}(X>5)=1-\mathbb{P}(X\le5)=1-\Phi(5)}\)

Przy zamianie jednej całki na drugą skorzystaliśmy z parzystości funkcji gęstości rozkładu normalnego. Warto narysować sobie wykres tej gęstości i wtedy na to spojrzeć.

Tak jest dla standardowego rozkładu normalnego. Dla dowolnego będzie trzeba trochę "przesunąć" tę równość.