Co oznacza rozbieznosc szeregu zmiennych losowych

[leg14]

Mam np. takie zadanie:

\(\displaystyle{ X_1,X_2,...}\) niezalezne oraz nieujemne. Zmienne te maja taki sam rozkład, różny od \(\displaystyle{ \delta_0}\) (nawiasem mowiac co to w ogole za rozklad?). Wtedy \(\displaystyle{ \sum_{}^{}X_i}\) jest rozbiezny z prawdopodobienstwem 1.
Jak mam interpretowac taka rozbieznosc?
Jako cos takiego:
\(\displaystyle{ \wedge_{ M>0} \PP( \bigcap_{N \in \NN}^{\infty} \bigcup_{k>N}^{\infty}\left\{S_k<M \right\} ))=0}\) ( \(\displaystyle{ S_k}\) to sumy czesciowe)
Czy moze po prostu cos takiego:

\(\displaystyle{ \wedge _{M>0} \PP(S_k>M) \rightarrow 1}\)?

Z gory dzieki za odpowiedz.

[Slup]

Wystarczy wykazać, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\sum_{n=1}^{+\infty}X_n=+\infty)=1}\)
Zmienne \(\displaystyle{ \{X_n\}_{n\in \mathbb{N}}}\) mają ten sam rozkład. Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon>0}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_n\geq \epsilon)=\alpha>0}\)
dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Tutaj wykorzystujemy, że ten rozkład jest nietrywialny. Teraz mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}\mathbb{P}(X_n\geq \epsilon)=+\infty}\)
oraz zdarzenia \(\displaystyle{ \{X_n\geq \epsilon\}}\) dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) są niezależne. Z drugiego lematu Borela-Catelliego dostajemy, że prawie na pewno zachodzi jednocześnie nieskończenie wiele zdarzeń spośród \(\displaystyle{ \{X_n\geq \epsilon\}}\). Stąd prawie na pewno mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty}X_n=+\infty}\)