Mam taką oto nierówność
\(\displaystyle{ \forall_{u>0},\ P(|X_s-X_t|\geq u)\leq 2\exp\left(-\frac{u^2}{2d(s,t)^2} \right),}\)
gdzie \(\displaystyle{ d(s,t)^2=\mathbb{E}|X_s-X_t|^2.}\)
Ta nierówność jest podobno spełniona dla procesów gaussowskich. Aby to sprawdzić napisałam:
\(\displaystyle{ P(|X_s-X_t|\geq u)=2P(X_s-X_t\geq u)=2\int_u^\infty\frac{1}{\sqrt{2\Pi\sigma^2}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx\leq 2\frac{1}{\sqrt{2\Pi\sigma^2}}\int_u^\infty\frac{x}{u}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}dx=2\frac{1}{\sqrt{2\Pi\sigma^2}}\frac{\sigma^2}{u}e^{-\frac{u^2}{2\sigma^2}}.}\)
Czyli kawałek już mam, ponieważ w tym przypadku \(\displaystyle{ \sigma^2=d(s,t)^2.}\) Jedyne, co pozostaje, to oszacowanie \(\displaystyle{ \frac{\sigma}{\sqrt{2\Pi}u}}\) z góry przez \(\displaystyle{ 1}\). No i w tym problem. Być może należy to rozbić na przypadki, ale mam tutaj zarówno \(\displaystyle{ u}\), jak i \(\displaystyle{ \sigma}\) do rozpatrzenia.
Będę wdzięczna za jakiekolwiek uwagi.
Nierówność dla procesu gaussowskiego
-
Kr8fcia
Nierówność dla procesu gaussowskiego
Jednak mam coś lepszego. Załóżmy, że \(\displaystyle{ X_s-X_t=X}\). Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,\sigma^2)}\). Wtedy mamy dla pewnego \(\displaystyle{ \lambda>0}\) i z nierówności Czebyszewa
\(\displaystyle{ P(|X|\geq u)=2P(X\geq u)=2P(\exp(\lambda X)\geq \exp(\lambda u))\leq\frac{\mathbb{E}\exp(\lambda X)}{\exp(\lambda u)}=\frac{\exp\left(\frac{\lambda^2\sigma^2}{2}\right)}{\exp(\lambda u)}=\exp\left(\frac{\lambda^2\sigma^2}{2}-\lambda u\right).}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ \lambda=\frac{u}{\sigma^2}}\). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ \exp\left(\frac{\lambda^2\sigma^2}{2}-\lambda u\right)=\exp\left(\frac{u^2\sigma^2}{2\sigma^4}-\frac{u^2}{\sigma^2}\right)=\exp\left(\frac{u^2}{2\sigma^2}-\frac{u^2}{\sigma^2}\right)=\exp\left(-\frac{u^2}{2\sigma^2}\right).}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ \sigma^2=d(s,t)^2}\) mamy tezę.
Temat do zamknięcia.
\(\displaystyle{ P(|X|\geq u)=2P(X\geq u)=2P(\exp(\lambda X)\geq \exp(\lambda u))\leq\frac{\mathbb{E}\exp(\lambda X)}{\exp(\lambda u)}=\frac{\exp\left(\frac{\lambda^2\sigma^2}{2}\right)}{\exp(\lambda u)}=\exp\left(\frac{\lambda^2\sigma^2}{2}-\lambda u\right).}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ \lambda=\frac{u}{\sigma^2}}\). Wtedy mamy
\(\displaystyle{ \exp\left(\frac{\lambda^2\sigma^2}{2}-\lambda u\right)=\exp\left(\frac{u^2\sigma^2}{2\sigma^4}-\frac{u^2}{\sigma^2}\right)=\exp\left(\frac{u^2}{2\sigma^2}-\frac{u^2}{\sigma^2}\right)=\exp\left(-\frac{u^2}{2\sigma^2}\right).}\)
Po podstawieniu \(\displaystyle{ \sigma^2=d(s,t)^2}\) mamy tezę.
Temat do zamknięcia.