Czy zbiega według prawdopodobieństwa

[leg14]

\(\displaystyle{ X_i}\) niezalezne, majace wartosc oczekiwana oraz jednakowy rozklad. Mam pokazac, ze \(\displaystyle{ \frac{1}{n}max_{i \le n}|X_i| \rightarrow 0}\) wedlug prawdopodobienstwa.
\(\displaystyle{ E|X_1| = E|X_1| \cdot 1_{|X_1|> \epsilon n} + E|X_1| \cdot 1_{|X_1| \le \epsilon n}}\)
Z tw. o zbieznosci zmajoryzowanej wiem, ze \(\displaystyle{ E|X_1| \cdot 1_{|X_1| \le \epsilon n} \rightarrow E|X_1|}\), gdy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)
\(\displaystyle{ E|X_1| \cdot 1_{|X_1|> \epsilon n} + E|X_1| \cdot 1_{|X_1| \le \epsilon n} \ge \PP(|X_1|> \epsilon n) \cdot \epsilon \cdot n + E|X_1| \cdot 1_{|X_1| \le \epsilon n}}\)
Stad wniosek, ze \(\displaystyle{ \PP(|X_1|> \epsilon n) \cdot \epsilon \cdot n \rightarrow 0}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ \PP(max_{i \le n}|X_i| \le \epsilon n )= \PP(|X_1| \le \epsilon \cdot n)^{n}=\exp(n \cdot \ln(1 + \PP(|X_1| \le \epsilon \cdot n) -1))}\)
No i teraz skoro \(\displaystyle{ \PP(|X_1| \le \epsilon \cdot n) -1 = -\PP(|X_1|> \epsilon n)}\)
To \(\displaystyle{ \exp(n \cdot \ln(1 + \PP(|X_1| \le \epsilon \cdot n) -1)) \rightarrow 1}\) niezaleznie od epsilona.Jest ok? Z gory dzieki za odpowiedz.

[M Maciejewski]

Jest dobrze, ale prawdę powiedziawszy nie wiem, skąd jest ostatnia zbieżność. Ona jest prawdziwa, ale ja wolałem przekształcić inaczej:
Oznaczmy \(\displaystyle{ \alpha_n:=\PP(|X_1| > \epsilon \cdot n)}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \PP(|X_1| \le \epsilon \cdot n)^{n}=(1-\alpha_n)^n=\left((1-\alpha_n)^{\frac{1}{\alpha_n}}\right)^{n\alpha_n}\to e^{-0}=1}\).
Tak czy owak, jest dobrze.