prawdopodobienstwo warunkowe

[matkur93]

przy danych:
\(\displaystyle{ P(A')= \frac{1}{2} \\
P(A \cup B)= \frac{3}{5} \\
P(A|B)= \frac{2}{3}}\)


nalezy obliczyc: \(\displaystyle{ P(B)}\)

kompletnie nie wiem jak sie za to zabrac, nie wiem jak to rozpisać?

[loitzl9006]

Obliczamy \(\displaystyle{ P(A)}\) ze wzoru \(\displaystyle{ P(A)+P(A')=1}\):
\(\displaystyle{ P(A)+\frac12=1\ \to \ P(A)=\frac12}\)

Dalej przydadzą się wzory:
\(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\)

Wstawiając dane do tych wzorów otrzymujemy dwa równania, z których robimy układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac35=\frac12+P(B)-P(A\cap B) \\ \frac23=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{cases}}\)

Żeby Ci było łatwiej rozwiązać ten układ możesz uznać, że \(\displaystyle{ P(B)=x}\), oraz \(\displaystyle{ P(A\cap B)=y}\).
Potrzebujesz wartości \(\displaystyle{ x}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac35=\frac12+x-y \\ \frac23=\frac{y}{x} \end{cases}}\)

Powodzenia!