Witam
Jaka jest dokładna definicja mierzalności zmiennej losowej względem σ-ciała generowanego przez rozbicie?
Potrzebuję tą definicję do mojej pracy magisterskiej, a nie mogę nigdzie znaleźć w internecie.
Więc byłbym bardzo wdzięczny za jakąkolwiek pomoc
definicja mierzalność zmiennej losowej
-
Slup
- Użytkownik
- Posty: 794
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
definicja mierzalność zmiennej losowej
Tutaj chodzi po prostu o specyfikację definicji funkcji mierzalnej do przypadku \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciała generowanego przez rozbicie \(\displaystyle{ \Omega}\).
Przez rozbicie rozumiesz rodzinę \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) parami rozłącznych zbiorów, które pokrywają \(\displaystyle{ \Omega}\)?
Jeżeli o to Ci chodziło, to wtedy Twoje \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało:
\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\sigma(\{A_i\}_{i\in I})}\)
Można zatem udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{A\subseteq \Omega|\text{istnieje\,ciąg}\,\{i_n\}_{n\in \NN}\,\text{elementów zbioru}\,I\,\text{taki, że}\,A=\cup_{n\in \NN}A_{i_n}\,\text{lub}\,A=X\setminus \cup_{n\in \NN}A_{i_n}\}\cup\{\emptyset, X\}}\)
Krótko mówiąc, \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) składa się ze zbiorów, które są sumą co najwyżej przeliczalnej podrodziny zbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\), lub są sumą wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) poza być może przeliczalnie wieloma.
Teraz zmienna \(\displaystyle{ Y:\Omega\rightarrow \mathbb{R}}\) jest mierzalna względem \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru Borelowskiego \(\displaystyle{ B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ Y^{-1}(B)\in \mathcal{A}}\)
Oznacza, że \(\displaystyle{ Y^{-1}(B)}\) jest sumą co najwyżej przeliczalnej podrodziny zbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\), lub jest sumą wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) poza być może przeliczalnie wieloma. Przy czym jak zwykle w tej definicji zamiast ogólnego zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B}\) możesz wziąć na przykład przedziały otwarte, przedziały domknięte itd.
Jeśli czegoś z tego, co napisałem, nie rozumiesz, to dopytuj.
Przez rozbicie rozumiesz rodzinę \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) parami rozłącznych zbiorów, które pokrywają \(\displaystyle{ \Omega}\)?
Jeżeli o to Ci chodziło, to wtedy Twoje \(\displaystyle{ \sigma}\)-ciało:
\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\sigma(\{A_i\}_{i\in I})}\)
Można zatem udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \mathcal{A}=\{A\subseteq \Omega|\text{istnieje\,ciąg}\,\{i_n\}_{n\in \NN}\,\text{elementów zbioru}\,I\,\text{taki, że}\,A=\cup_{n\in \NN}A_{i_n}\,\text{lub}\,A=X\setminus \cup_{n\in \NN}A_{i_n}\}\cup\{\emptyset, X\}}\)
Krótko mówiąc, \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) składa się ze zbiorów, które są sumą co najwyżej przeliczalnej podrodziny zbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\), lub są sumą wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) poza być może przeliczalnie wieloma.
Teraz zmienna \(\displaystyle{ Y:\Omega\rightarrow \mathbb{R}}\) jest mierzalna względem \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru Borelowskiego \(\displaystyle{ B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ Y^{-1}(B)\in \mathcal{A}}\)
Oznacza, że \(\displaystyle{ Y^{-1}(B)}\) jest sumą co najwyżej przeliczalnej podrodziny zbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\), lub jest sumą wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ \{A_i\}_{i\in I}}\) poza być może przeliczalnie wieloma. Przy czym jak zwykle w tej definicji zamiast ogólnego zbioru borelowskiego \(\displaystyle{ B}\) możesz wziąć na przykład przedziały otwarte, przedziały domknięte itd.
Jeśli czegoś z tego, co napisałem, nie rozumiesz, to dopytuj.