własność braku pamięci

[niedzwiedz2]

Cześć,

mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ P(N=k)=pq^k}\); \(\displaystyle{ p=1-q}\); \(\displaystyle{ k=0,1,2,\dots}\)

Wykazać, że: \(\displaystyle{ P(N>k+j|N>k)=P(N>j)}\).

No, to robię lewą stronę:

\(\displaystyle{ L=\frac{P(N>k+j\,\,\,\textrm{i}\,\,\,N>k)}{P(N>k)}=\frac{1-P(N\leq k+j)}{1-P(N\leq k)}}\)

Muszę znaleźć dystrybuantę:

\(\displaystyle{ P(N\leq n)=\sum\limits^n_{k=0}(1-q)q^k=(1-q)\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=1-q^{n+1}}\).

Więc:

\(\displaystyle{ L=\frac{1-(1-q^{k+j+1})}{1-(1-q^{k+1})}=q^j}\)

I prawa strona:

\(\displaystyle{ P=1-P(N\leq j)=1-(1-q^{j+1})=q^{j+1}}\)

I nie zgadza się, \(\displaystyle{ L\neq P}\). Dlaczego?

[Premislav]

Cześć.

Są dwie wersje rozkładu geometrycznego: niby na jedno wychodzi, ale nie do końca. Ogólnie sprawa polega na tym, że mamy sobie doświadczenie losowe z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie \(\displaystyle{ p}\) i prawdopodobieństwem porażki w pojedynczej próbie \(\displaystyle{ q=1-p}\), i wykonujemy niezależnie próby tak długo, aż uzyskamy pierwszy sukces. Wtedy zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) oznaczająca liczbę wykonanych prób ma rozkład \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=k)=pq^{k-1}}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2...}\), natomiast zmienna losowa \(\displaystyle{ Y}\) odpowiadająca czasowi oczekiwania na pierwszy sukces ma rozkład taki, jak u Ciebie w treści.
Twoje rachunki są poprawne, a taki rozkład nie ma własności braku pamięci, za to ten rozkład liczby rzutów, który podałem, już owszem.

[niedzwiedz2]

Dzięki!

[andkom]

mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ P(N=k)=pq^k}\); \(\displaystyle{ p=1-q}\); \(\displaystyle{ k=0,1,2,\dots}\)

Wykazać, że: \(\displaystyle{ P(N>k+j|N>k)=P(N>j)}\).

W warunku braku pamięci powinieneś mieć słabe nierówności:

\(\displaystyle{ P(N\geq k+j|N\geq k)=P(N\geq j)}\)

I dalej tak, jak robisz (wklejam Twoje rachunki z odpowiednimi zmianami):

\(\displaystyle{ L=\frac{P(N\geq k+j\,\,\,\textrm{i}\,\,\,N\geq k)}{P(N\geq k)}
=\frac{1-P(N<k+j)}{1-P(N<k)}=\frac{1-P(N\leq k+j-1)}{1-P(N\leq k-1)}}\)

Muszę znaleźć dystrybuantę:

\(\displaystyle{ P(N\leq n)=\sum\limits^n_{k=0}(1-q)q^k=(1-q)\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=1-q^{n+1}}\).

Więc:

\(\displaystyle{ L=\frac{1-(1-q^{k+j})}{1-(1-q^k)}=q^j}\)

I prawa strona:

\(\displaystyle{ P=1-P(N<j)=1-P(N\leq j-1)=1-(1-q^j)=q^j}\)

I zgadza się, \(\displaystyle{ L=P}\).