Prawdopodobieństwo w ujęciu geometrycznym

[Frynio]

Witam. Mam zapewne proste zadanie, ale siedzę i męczę się z nim już dość długo

Z odcinka \(\displaystyle{ OA}\) o długości \(\displaystyle{ l}\) wylosowana niezależnie dwa punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że długość odcinka \(\displaystyle{ BC}\) będzie większa od połowy długości odcinka \(\displaystyle{ OA}\) i mniejsza, niż dwie trzecie tej długości. Rozważania zilustrować rysunkiem

Jedyne, co założyłem, to że : \(\displaystyle{ \Omega = l}\). Jak mogę zrobić to zadanie?

[M Maciejewski]

Można narysować kwadrat \(\displaystyle{ \Omega=[0,l]\times[0,l]}\). Losowanie dwóch punktów to jak losowanie punktu w \(\displaystyle{ \Omega}\) (wartości \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to odległości wylosowanych punktów z \(\displaystyle{ OA}\) od punktu \(\displaystyle{ O}\)). Jeśli niezależnie losujemy ten dwa punkty, to mamy do czynienia z p-stwem produktowym, więc miara Lebesgue'a na \(\displaystyle{ \Omega}\) jest proporcjonalna do p-stwa. Warunek odległości będzie spełniony, gdy \(\displaystyle{ \frac l2<|y-x|<\frac {2l}3}\). Narysuj ten zbiór, oblicz jego pole i zastanów się, jak się to pole ma do zadania.

[Frynio]

Aaa, już wszystko jasne, dzięki bardzo!