Podstwy ubezpieczeń majątkowych

[marlena1795]

Witam, nie wiem czy umieszczam wątek w dobrym miejscu, ale mam zadanie najprawdopodobniej z egzaminu aktuarialnego, za które nie wiem jak się wziąć :/ Oto jego treść:

Wiadomo, że niezależne zmienne losowe \(\displaystyle{ N_1 , N_2 , N_3}\) mają rozkłady określone na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych, spełniające następujące zależności rekurencyjne:

\(\displaystyle{ P \left( N_1=k \right) = \frac{1}{2} \cdot P \left( N_1=k-1 \right) , k=1,2,3... \\
P \left( N_2=k \right) = \left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2k} \right) \cdot P \left( N_2=k-1 \right) , k=1,2,3... \\
P \left( N_3=k \right) = \left( \frac{1}{2}+ \frac{1}{k} \right) \cdot P \left( N_3=k-1 \right) k=1,2,3...}\)

Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ N_1+ N_2+N_3}\) a następnie obliczyć \(\displaystyle{ P \left( N_1+ N_2+N_3 \right) =4}\). Podać wynik dokładny w postaci ułamka zwykłego.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu.