Mamy \(\displaystyle{ 50}\) białych kul w urnie. Losujemy po jednej ze zwracaniem i jeśli jest biała to malujemy na czerwono. \(\displaystyle{ X}\)- ilość czerwonych kul w urnie po \(\displaystyle{ 20}\) losowaniach. Obliczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E}X}\) oraz \(\displaystyle{ VarX}\).
Myślałam o tym żeby wprowadzić nową zm. losową: \(\displaystyle{ X_i=1}\) jeśli \(\displaystyle{ i}\)-ta kula wylosowana biała oraz \(\displaystyle{ X_i=0}\) w przeciwnym przypadku.
Jednak nie wiem czy to jest dobry pomysł, bo ciężko jest policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(X_i=1)}\)
Może trzeba zrobić to inaczej?
wartość oczekiwana
-
leg14
- Użytkownik
- Posty: 3132
- Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 154 razy
- Pomógł: 475 razy
wartość oczekiwana
Ponumerujmy te kule. Niech \(\displaystyle{ X_i =}\) ile razy i-ta kula została wylosowana. Wtedy zmienna X to suma zmiennych ( po wszystkich i) \(\displaystyle{ Z_i= min [1,X_i]}\).
-
kinia7
- Użytkownik
- Posty: 704
- Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 89 razy
- Pomógł: 94 razy
wartość oczekiwana
Nie jestem pewna, ale może jest tak:
\(\displaystyle{ X=1}\) - tzn, że poza pierwszym razem trafiamy 19 razy na tę jedną kulę czerwoną, czyli
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{50}{50}\cdot\frac{1}{50}\cdot\frac{1}{50}\cdot\ ...\ \frac{1}{50}\cdot\frac{1}{50}\cdot=\frac{50*1^{19}}{50^{20}}}\)
\(\displaystyle{ X=20}\) - tzn., że w każdym losowaniu trafiamy na kulę białą, czyli
\(\displaystyle{ P(X=20)=\frac{50}{50}\cdot\frac{49}{50}\cdot\frac{48}{50}\cdot\ ...\ \frac{32}{50}\cdot\frac{31}{50}\cdot=\frac{\frac{50!}{30!}}{50^{20}}}\)
ogólnie
\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{k^{20-k}\cdot50!}{50^{20}(50-k)!}}\)
-- 13 cze 2016, o 19:25 --
\(\displaystyle{ X=k\ \Rightarrow \ m=\frac{k^{20-k}\cdot50!}{(50-k)!}}\)
\(\displaystyle{ X=1\ \Rightarrow \ m=n=50}\)
\(\displaystyle{ X=2\ \Rightarrow \ m=50*49*2^{18}= 642252800}\)
\(\displaystyle{ X=2\ \Rightarrow \ n=50*49*(2^{19}-1)=1284503150 \approx 2m}\)
\(\displaystyle{ X=19\ \Rightarrow \ m=\frac{50!}{31!}\cdot19= 70275946681617874339568025600000}\)
\(\displaystyle{ X=19\ \Rightarrow \ n=\frac{50!}{31!}\cdot190=702759466816178743395680256000000=10m}\)
\(\displaystyle{ X=20\ \Rightarrow \ m=n=\frac{50!}{30!}=114660755112113373922453094400000}\)-- 13 cze 2016, o 19:29 --\(\displaystyle{ X=19\ \Rightarrow \ n=\frac{50!}{31!}\cdot190}\)
\(\displaystyle{ X=1}\) - tzn, że poza pierwszym razem trafiamy 19 razy na tę jedną kulę czerwoną, czyli
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{50}{50}\cdot\frac{1}{50}\cdot\frac{1}{50}\cdot\ ...\ \frac{1}{50}\cdot\frac{1}{50}\cdot=\frac{50*1^{19}}{50^{20}}}\)
\(\displaystyle{ X=20}\) - tzn., że w każdym losowaniu trafiamy na kulę białą, czyli
\(\displaystyle{ P(X=20)=\frac{50}{50}\cdot\frac{49}{50}\cdot\frac{48}{50}\cdot\ ...\ \frac{32}{50}\cdot\frac{31}{50}\cdot=\frac{\frac{50!}{30!}}{50^{20}}}\)
ogólnie
\(\displaystyle{ P(X=k)=\frac{k^{20-k}\cdot50!}{50^{20}(50-k)!}}\)
-- 13 cze 2016, o 19:25 --
\(\displaystyle{ X=k\ \Rightarrow \ m=\frac{k^{20-k}\cdot50!}{(50-k)!}}\)
\(\displaystyle{ X=1\ \Rightarrow \ m=n=50}\)
\(\displaystyle{ X=2\ \Rightarrow \ m=50*49*2^{18}= 642252800}\)
\(\displaystyle{ X=2\ \Rightarrow \ n=50*49*(2^{19}-1)=1284503150 \approx 2m}\)
\(\displaystyle{ X=19\ \Rightarrow \ m=\frac{50!}{31!}\cdot19= 70275946681617874339568025600000}\)
\(\displaystyle{ X=19\ \Rightarrow \ n=\frac{50!}{31!}\cdot190=702759466816178743395680256000000=10m}\)
\(\displaystyle{ X=20\ \Rightarrow \ m=n=\frac{50!}{30!}=114660755112113373922453094400000}\)-- 13 cze 2016, o 19:29 --\(\displaystyle{ X=19\ \Rightarrow \ n=\frac{50!}{31!}\cdot190}\)