Stochastyczna ciągłość

[kajusia12312]

Witam serdecznie ,
Czy mógłby mi ktoś pomoc w następującym zadaniu:
Proces \(\displaystyle{ (X_t)}\) ma niezależne składowe o jednakowym rozkładzie
\(\displaystyle{ \begin{cases} X_i \quad -1 \quad 1 \\ p_i \quad \frac{1}{2} \quad \frac{1}{2} \end{cases}}\)
Zbadać z definicji stochastyczna ciągłość procesu w dowolnym, ustalonym punkcie \(\displaystyle{ t_0in [0, infty ).}\)

[M Maciejewski]

Policz wartość \(\displaystyle{ P(|X_t-X_s|\geq\varepsilon)}\).

[kajusia12312]

No wlasnie w tym rzecz ze nie wiem za bardzo jak to rozpisać i obliczyć.

-- 2 cze 2016, o 17:11 --

No wlasnie w tym rzecz ze nie wiem za bardzo jak to rozpisać i obliczyć.-- 2 cze 2016, o 17:38 --moje jakieś obliczenia:
\(\displaystyle{ P(|X_t-X__t_0|\geq\varepsilon)=P(X_t-X_{t_0} \geq \varepsilon \quad \vee \quad X_t-X_{t_0 } \le-\varepsilon)=P(X_t \geq \varepsilon +X_{t_0} \quad \vee \quad X_t\le-\varepsilon+X_{t_0})=P(X_t \geq \varepsilon +X_{t_0} )=P(X_t\le-\varepsilon+X_{t_0})}\)
i jak dalej liczyć ?

[M Maciejewski]

Niech \(\displaystyle{ A=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid |y-x|\geq\varepsilon}\). Proszę sobie taki zbiór narysować dla małych wartości \(\displaystyle{ \varepsilon}\). Wtedy

\(\displaystyle{ |X_t-X_{t_0}|\geq\varepsilon\iff (X_t,X_{t_0})\in A \iff}\) \(\displaystyle{ (X_t,X_{t_0})=(1,-1)\vee (X_t,X_{t_0})=(-1,1)\vee (X_t,X_{t_0})\in A\setminus\{(1,-1),(-1,1)\}}\).

Zatem
\(\displaystyle{ P(|X_t-X_{t_0}|\geq\varepsilon)=P( (X_t,X_{t_0})=}\) \(\displaystyle{ (1,-1))+P( (X_t,X_{t_0})=(-1,1))+P( (X_t,X_{t_0})\in A\setminus\{(1,-1),(-1,1)\})}\).

Teraz wystarczy obliczyć te trzy prawdopodobieństwa, korzystając z niezależności rozkładu.

[kajusia12312]

Bardzo dziękuję za pomoc!!