Splot - symetryczny rozkład trójkątny.

[Red John]

\(\displaystyle{ X_1}\),\(\displaystyle{ X_2}\) są niezależne o symetrycznych rozkładach trójkątnych na odcinku \(\displaystyle{ (-1,1)}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ X_1+X_2}\).

Rozumiem, że chodzi o taki rozkład: \(\displaystyle{ f(x)= egin{cases} x+1 &xin (-1,0) \ 1-x & xin [0,1) \ 0 & wpp end{cases}}\)

Chcąc korzystać ze splotu: \(\displaystyle{ g(s)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot f(s-t)dt}\) wychodzą mi dziwne rzeczy, nie wiem czy rozumiem dobrzę ideę.

Jednym trójkątem stoję, a drugim suwam w zależności od \(\displaystyle{ s}\). I np. dla \(\displaystyle{ s<-2}\) funkcje podcałkowe nie mają części wspólnej i wychodzi 0.

Dla \(\displaystyle{ s\in [-2,-1]}\). Trójkąty przecinają się na odcinku \(\displaystyle{ (-1,s+1)}\) więc wychodzi mi coś takiego: \(\displaystyle{ \int_{-1}^{s+1}(1+t)(1-s+t)dt=\frac{8}{3} +2s-\frac{s^3}{6}}\) itd, itd rozpatrując kolejne przypadki. Na końcu to co wychodzi nie jest nawet gęstością bo całkuje się do 3.
Robiąc zadania staram się odtwarzać kroki zgodnie z tym co było na wykładzie, ale ze splotu był dosyć trywialny przykład.

[M Maciejewski]

Po pierwsze widzimy, że \(\displaystyle{ g(-s)=g(s)}\), więc wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ s\geq 0}\).
Może uproszczą się obliczenia, jeśli zrobisz podstawienie \(\displaystyle{ t=u+\frac s2}\):
\(\displaystyle{ g(s)=\int f(\frac s2+u)\cdot f(\frac s2-u)\,du}\).
Funkcja podcałkowa jest symetryczna (to podstawienie po to zrobiłem takie, aby dostać symetryczność).
Zatem
\(\displaystyle{ g(s)=2\int_0^\infty f(\frac s2+u)\cdot f(\frac s2-u)\,\mbox du}\).
Teraz nie dość, że wystarczy badać \(\displaystyle{ s\geq 0}\), to na dodatek \(\displaystyle{ u\geq 0}\).