zbieżność szeregu
-
waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
zbieżność szeregu
Niech \(\displaystyle{ \left\{ X_n\right\}\left\ _{ n \in \NN\right\}}\) losowych o rozkładzie jednostajnym na \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\). Jak zbadać zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n} X_n}\)?
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
zbieżność szeregu
W treści nie jest napisane ale pewnie te zmienne losowe są niezależne, przy tym założeniu łatwo np. wyliczyć funkcję charakterystyczną sumy zmiennych losowych co nam pozwoli zbadać zbieżność według rozkładu.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
zbieżność szeregu
Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym
na \(\displaystyle{ (0,1)}\) ma funkcję charakterystyczną
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \frac{e^{it}-1}{it}}\). Funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn funkcji charakterystycznych. Ponadto jeśli \(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)}\) jest funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\),
to \(\displaystyle{ \varphi_{aX}(t)=\varphi_{X}(at)}\)
Skoro zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{n}, n \in \NN}\) są niezależne, to także zmienne \(\displaystyle{ \frac{X_{n}}{n}}\) są niezależne. Gdyby \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{X_{n}}{n}}\) zbiegał według rozkładu do jakiejś zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\), to byłoby
\(\displaystyle{ \lim_{ N \to \infty } \varphi_{ S_N}(t)=\varphi _{Y}(t)}\) (granica punktowa), gdzie
\(\displaystyle{ S_N}\) oznacza sumę częściową szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{X_n}{n}}\).
Ale funkcja charakterystyczna sumy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{X_{n}}{n}}\) to jest
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{N}\left( \frac{e^{it/n}-1}{it/n}\right)}\)
Zbadaj zbieżność punktową tego iloczynu.
Czy funkcja graniczna jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa?
-- 2 cze 2016, o 10:43 --
Jeżeli natomiast wystarczy nam zbadanie zbieżności
prawie na pewno, to można się posłużyć twierdzeniem Kołmogorowa o trzech szeregach.
Ze zbieżności prawie na pewno wynika zbieżność wg prawdopodobieństwa i zbieżność wg rozkładu.
na \(\displaystyle{ (0,1)}\) ma funkcję charakterystyczną
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \frac{e^{it}-1}{it}}\). Funkcja charakterystyczna sumy niezależnych zmiennych losowych to iloczyn funkcji charakterystycznych. Ponadto jeśli \(\displaystyle{ \varphi_{X}(t)}\) jest funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\),
to \(\displaystyle{ \varphi_{aX}(t)=\varphi_{X}(at)}\)
Skoro zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{n}, n \in \NN}\) są niezależne, to także zmienne \(\displaystyle{ \frac{X_{n}}{n}}\) są niezależne. Gdyby \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty } \frac{X_{n}}{n}}\) zbiegał według rozkładu do jakiejś zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\), to byłoby
\(\displaystyle{ \lim_{ N \to \infty } \varphi_{ S_N}(t)=\varphi _{Y}(t)}\) (granica punktowa), gdzie
\(\displaystyle{ S_N}\) oznacza sumę częściową szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{X_n}{n}}\).
Ale funkcja charakterystyczna sumy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{N} \frac{X_{n}}{n}}\) to jest
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{N}\left( \frac{e^{it/n}-1}{it/n}\right)}\)
Zbadaj zbieżność punktową tego iloczynu.
Czy funkcja graniczna jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa?
-- 2 cze 2016, o 10:43 --
Jeżeli natomiast wystarczy nam zbadanie zbieżności
prawie na pewno, to można się posłużyć twierdzeniem Kołmogorowa o trzech szeregach.
Ze zbieżności prawie na pewno wynika zbieżność wg prawdopodobieństwa i zbieżność wg rozkładu.