gęstość, dystrybuanta

[waliant]

Mamy dany rozkład wykładniczy z \(\displaystyle{ \lambda=1}\).
Mamy wyznaczyć gęstość oraz dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ \sqrt{X}}\).

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} e^{-x}, \ \ x \ge 0 \\0, \ \ x<0\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ P( \sqrt{X}<t )=P(X<t^2)= \int_{0}^{t^2}e^{-x}=1-e^{-t^2}}\) i to jest dystrybuanta a funkcja gęstości to po prostu pochodna z tego?

[Premislav]

Prawie dobrze. Ściślej mówiąc, mamy
\(\displaystyle{ mathbf{P}(sqrt{X}<t)= (1-e^{-t^{2}})mathbf{1}_{[0,+infty)}(t)}\)
Poza tym dystrybuantę zazwyczaj jednak definiuje się jako prawostronnie ciągłą i wtedy
mamy \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X\le t)}\) itd., ale oczywiście w przypadku rozkładu absolutnie ciągłego niczego to nie zmienia.
Tak, gęstość z tego (o nośniku \(\displaystyle{ [0,+infty)}\)!!) to po prostu pochodna z tej dystrybuanty.

[waliant]

dziękuję, mam jeszcze takie pytanie: czym różni się rozkład od funkcji gęstości?

[Premislav]

Każda zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład, tj. taką miarę probabilistyczną \(\displaystyle{ \mu}\) na (klasycznie)
\(\displaystyle{ (\RR^{n}, Bor (\RR^{n}))}\), że dla każdego \(\displaystyle{ A\in Bor (\RR^{n})}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \mu(A)=\mathbf{P}(X \in A)}\).
Nie każda zmienna losowa ma funkcję gęstości - tylko takie, których rozkłady są absolutnie ciągłe względem n-wymiarowej miary Lebesgue'a (gdy zmienna losowa przyjmuje wartości w \(\displaystyle{ \RR^{n}}\)).