Cześć!!!
Chciałbym prosić o pomoc w takim zadaniu, bo kompletnie nie wiem jak się za to zabrać:
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ S_{n}= \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\), \(\displaystyle{ P\left( X_{i}=1\right)=p=1-P\left( X_{i}=-1\right)}\), jest położeniem cząstki w chwili \(\displaystyle{ n}\), to ciąg \(\displaystyle{ Y_{n}= \left( \frac{q}{p}\right)^{S_{n}}}\) jest martyngałem względem \(\displaystyle{ S_{n}}\).
Pokazać, że ciąg jest martyngałem.
-
karolkarol
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 25 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
-
M Maciejewski
- Użytkownik
- Posty: 318
- Rejestracja: 14 maja 2016, o 16:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Pomógł: 90 razy
Pokazać, że ciąg jest martyngałem.
Zakładam, że \(\displaystyle{ q:=1-p}\). Dobrze?
Nie czuję się mocno z prawdopodobieństwa, który ma swój specyficzny język. Dlatego wszystko tłumaczę sobie w terminach typowych dla teorii miary (wartość oczekiwana na całki, itp.).
Nie wiedziałem jeszcze do dzisiaj, co to martyngał, więc się szybko douczyłem z Wikipedii.
Nasza przestrzeń probabilistyczna to niech będzie przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega=\{-1,1\}^{\mathbb N}}\), czyli przestrzeń ciągów o wyrazach \(\displaystyle{ \pm 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ X_n=\pi_n}\), czyli rzut na \(\displaystyle{ n}\)-tą współrzędną (wybieranie \(\displaystyle{ n}\)-tego wyrazu z ciągu.
Będę korzystał z definicji martyngału w postaci ze strony
... %C5%84stwa)
oraz z definicji warunkowej wartości oczekiwanej ze strony
.
Dla danego ciągu liczb naturalnych \(\displaystyle{ (s_1,s_2,\ldots,s_n)}\) niech
\(\displaystyle{ H}\) to będzie zdarzenie: \(\displaystyle{ H=\{\omega\in\Omega\mid (S_1(\omega),S_2(\omega),\ldots,S_n(\omega))=(s_1,s_2,\ldots,s_n)\}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ E(Y_{n+1}\mid H) = \frac{E(\mathbf 1_H \cdot Y_{n+1})}{P(H)}=\int_H Y_{n+1} \,\mbox dP_H}\), gdzie \(\displaystyle{ P_H}\) to p-stwo warunkowe.
Mamy:
\(\displaystyle{ E(\mathbf 1_H \cdot Y_{n+1})=\int_H \left(\frac qp\right)^{S_{n+1}}\,\mbox dP_H=
\int_H \left(\frac qp\right)^{s_n+X_{n+1}}\,\mbox dP_H=}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac qp\right)^{s_n}\int_H \left(\frac qp\right)^{X_{n+1}}\,\mbox dP_H=
\left(\frac qp\right)^{s_n}\left(
\left(\frac qp\right)^1\cdot P(X_{n+1}=1)+\left(\frac qp\right)^{-1}\cdot P(X_{n+1}=-1)
\right)}\)
\(\displaystyle{ =\left(
\frac qp\right)^{s_n}\left(\left(\frac qp\right)^1\cdot p+\left(\frac qp\right)^{-1}\cdot q
\right)
=\left(\frac qp\right)^{s_n}\left(q+p\right)=\left(\frac qp\right)^{s_n}=Y_n(\omega)}\).
Ta równość, jak rozumiem, dowodzi tezy.-- 1 cze 2016, o 22:47 --Przejrzałem to, co napisałem i myślę, że może warto wyjaśnić linijkę, w której wyliczam całkę, a dokładniej chodzi mi o miejsce, gdzie jest \(\displaystyle{ P(X_{n+1}=\pm 1)}\). Wynika to z definicji całki z funkcji prostej, a tutaj mamy funkcję prostą (przyjmującą dwie wartości). Zgodnie z nią powinienem użyć tutaj nie miary \(\displaystyle{ P}\), ale \(\displaystyle{ P_H}\), ale wyjdzie to samo, ponieważ zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne (czyli mamy miarę produktową na \(\displaystyle{ \Omega}\)).
Innymi słowy, \(\displaystyle{ P(X_{n+1}= 1)=P_H(X_{n+1}=1)}\).
Nie czuję się mocno z prawdopodobieństwa, który ma swój specyficzny język. Dlatego wszystko tłumaczę sobie w terminach typowych dla teorii miary (wartość oczekiwana na całki, itp.).
Nie wiedziałem jeszcze do dzisiaj, co to martyngał, więc się szybko douczyłem z Wikipedii.
Nasza przestrzeń probabilistyczna to niech będzie przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega=\{-1,1\}^{\mathbb N}}\), czyli przestrzeń ciągów o wyrazach \(\displaystyle{ \pm 1}\). Wtedy \(\displaystyle{ X_n=\pi_n}\), czyli rzut na \(\displaystyle{ n}\)-tą współrzędną (wybieranie \(\displaystyle{ n}\)-tego wyrazu z ciągu.
Będę korzystał z definicji martyngału w postaci ze strony
... %C5%84stwa)
oraz z definicji warunkowej wartości oczekiwanej ze strony
Kod: Zaznacz cały
https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectationDla danego ciągu liczb naturalnych \(\displaystyle{ (s_1,s_2,\ldots,s_n)}\) niech
\(\displaystyle{ H}\) to będzie zdarzenie: \(\displaystyle{ H=\{\omega\in\Omega\mid (S_1(\omega),S_2(\omega),\ldots,S_n(\omega))=(s_1,s_2,\ldots,s_n)\}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ E(Y_{n+1}\mid H) = \frac{E(\mathbf 1_H \cdot Y_{n+1})}{P(H)}=\int_H Y_{n+1} \,\mbox dP_H}\), gdzie \(\displaystyle{ P_H}\) to p-stwo warunkowe.
Mamy:
\(\displaystyle{ E(\mathbf 1_H \cdot Y_{n+1})=\int_H \left(\frac qp\right)^{S_{n+1}}\,\mbox dP_H=
\int_H \left(\frac qp\right)^{s_n+X_{n+1}}\,\mbox dP_H=}\)
\(\displaystyle{ \left(\frac qp\right)^{s_n}\int_H \left(\frac qp\right)^{X_{n+1}}\,\mbox dP_H=
\left(\frac qp\right)^{s_n}\left(
\left(\frac qp\right)^1\cdot P(X_{n+1}=1)+\left(\frac qp\right)^{-1}\cdot P(X_{n+1}=-1)
\right)}\)
\(\displaystyle{ =\left(
\frac qp\right)^{s_n}\left(\left(\frac qp\right)^1\cdot p+\left(\frac qp\right)^{-1}\cdot q
\right)
=\left(\frac qp\right)^{s_n}\left(q+p\right)=\left(\frac qp\right)^{s_n}=Y_n(\omega)}\).
Ta równość, jak rozumiem, dowodzi tezy.-- 1 cze 2016, o 22:47 --Przejrzałem to, co napisałem i myślę, że może warto wyjaśnić linijkę, w której wyliczam całkę, a dokładniej chodzi mi o miejsce, gdzie jest \(\displaystyle{ P(X_{n+1}=\pm 1)}\). Wynika to z definicji całki z funkcji prostej, a tutaj mamy funkcję prostą (przyjmującą dwie wartości). Zgodnie z nią powinienem użyć tutaj nie miary \(\displaystyle{ P}\), ale \(\displaystyle{ P_H}\), ale wyjdzie to samo, ponieważ zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są niezależne (czyli mamy miarę produktową na \(\displaystyle{ \Omega}\)).
Innymi słowy, \(\displaystyle{ P(X_{n+1}= 1)=P_H(X_{n+1}=1)}\).