Sprawdzian 10 zadań po 3 pytania

[Poszukujaca]

Dany jest zestaw 10 zadań. Do każdego zadania są trzy pytania, na które należy odpowiedzieć TAK lub NIE. Zadanie uznajemy za rozwiązane, jeśli wszystkie trzy odpowiedzi do danego zadania są prawidłowe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń zgadując (tzn. nic nie umiejąc i podając odpowiedzi w sposób losowy) rozwiąże co najmniej 8 zadań?

Zrobiłam tak:

Każde zadanie traktuję jako trzy pytania, więc w sumie jest 30 pytań, a prawodopodobieństwo poprawnej odpowiedzi na każde z nich to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{ |\Omega|= 2^{30}}\)

\(\displaystyle{ A = \left\{ \mbox{uczeń rozwiąże co najmniej 8 zadań} \right\}}\)

Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) zawiera w sobie wszystkie możliwości, kiedy 8 z 10 zadań jest na pewno dobrze rozwiązanych w całości, a reszta z sześciu pozostałych pytań jest zaznaczona dobrze albo źle. Licząc \(\displaystyle{ |A|}\) muszę uwzględnić wszystkie możliwości, kiedy:
- uczeń na wszystkie pozostałe pytania odpowie źle
- na jedno z sześciu pytań odpowie dobrze
- na dwa z sześciu pytań odpowie dobrze
itd...

\(\displaystyle{ |A|= {10 \choose 8 } \left( 1+ {6 \choose 1} + {6 \choose 2} + {6 \choose 3} + { 6 \choose 4} + { 6 \choose 5} + { 6 \choose 6 } \right) = {10 \choose 8} \cdot 2^{6}}\)

Bardzo proszę o komentarz, czy mój sposób jest dobry.

[kerajs]

Ja poprzez rozwiązanie zadania rozumiem prawidłową odpowiedź na trzy pytania w nim zawarte.
Prawdopodobieństwo losowej prawidłowej odpowiedzi na jedno pytanie to:
\(\displaystyle{ p=\left( \frac{1}{2}\right)^3= \frac{1}{8}}\)
Teraz ze schematu Bernouliego:
\(\displaystyle{ P(A)=P(8d,2z)+P(9d,1z)+P(10d,0z)= {10 \choose 8}\left( \frac{1}{8} \right)^8 \left( 1-\frac{1}{8}\right)^2+{10 \choose 9}\left( \frac{1}{8} \right)^9 \left( 1-\frac{1}{8}\right)^1+\\+ {10 \choose 10}\left( \frac{1}{8} \right)^{10} \left( 1-\frac{1}{8}\right)^0= \frac{2269}{2 ^{30} }}\)


Twój wynik to \(\displaystyle{ P(A)=\frac{2880}{2 ^{30} }}\).

[Poszukujaca]

Może ze względu na to zdanie w treści zadania: ,,Zadanie uznajemy za rozwiązane, jeśli wszystkie trzy odpowiedzi do danego zadania są prawidłowe." należy rozwiązać je właśnie tak.

Czy w moim myśleniu jest jakiś błąd?-- 27 maja 2016, o 16:29 --Mi Twoim sposobem wyszło \(\displaystyle{ \frac{2276}{2^{30}}}\)

Ten wynik jest bardzo podobny do tego uzyskanego moim sposobem.

[kerajs]

1.Masz rację, popełniłem błąd rachunkowy.

2. Ty licząc sposobem z pierwszego postu niektóre zdarzenia zliczasz wielokrotnie.
Np:
\(\displaystyle{ {10 \choose 8} {6 \choose 6}}\) to u Ciebie 45 zdarzeń w których wszystkie zestawy są poprawne (30 prawidłowo odgadniętych pytań), a przecież takie zdarzenie jest tylko jedno. Powinno być \(\displaystyle{ {10 \choose 10}}\)
Już samo liczenie w ten sposób dokładnie ośmiu prawidłowych zestawów jest kłopotliwe.