Dowód z funkcją prawdopodobieństwa

[Poszukujaca]

Udowodnij, że \(\displaystyle{ | P(A) - P(B) | \le P(A \div B)}\).

Po pierwsze nie jestem pewna, co oznacza tutaj zapis: \(\displaystyle{ A \div B}\). Czy na pewno chodzi o różnice symetryczną zbiorów?

Jeśli tak, to rozpisuję prawą stronę tak:
\(\displaystyle{ P(A \div B)=P((A \setminus B) \cup (B \setminus A))=P(A \setminus B)+ P( B \setminus A) - P((A \setminus B) \cap (B \setminus A))}\)

Czy dobrym pomysłem będzie tutaj rozpatrzenie przypadków:
1. \(\displaystyle{ A \subset B}\)
2. \(\displaystyle{ B \subset A}\)
3. \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset}\)
4. \(\displaystyle{ A \cap B \neq \emptyset}\) i nie zachodzą przypadki 1 i 2

[Premislav]

Zgadza się, tak się czasami oznacza różnicę symetryczną. I to jest sensowna interpretacja, żadnej innej nie widzę.

Ja zamiast rozpatrywać przypadki zauważyłbym, że:
1) z nierówności trójkąta mamy \(\displaystyle{ \left| \mathbf{P}(A \setminus B)-\mathbf{P}(B \setminus A)\right| \le \mathbf{P}(A \setminus B)+\mathbf{P}(B \setminus A)}\);
2) \(\displaystyle{ \left| \mathbf{P}(A)-\mathbf{P}(B)\right|=\left| \mathbf{P}(A \setminus B)+\mathbf{P}(A \cap B)-\mathbf{P}(B \setminus A)-\mathbf{P}(A \cap B)\right|=...}\)
i stosujemy obserwację 1) do tego, co otrzymujemy w punkcie 2.

[Poszukujaca]

\(\displaystyle{ |P(A)-P(B)|=|P(A \setminus B)-P(B \setminus A) | \le P(A \setminus B) +P(B \setminus A)}\)

Teraz wystarczy jeszcze skomentować, że z definicji różnicy symetrycznej zbiorów \(\displaystyle{ P((A \setminus B) \cap (B \setminus A))= 0}\).