Rzucono 400 - krotnie kostką do gry. Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że sumaryczna liczba
wyrzuconych oczek zawiera się przedziale liczbowym \(\displaystyle{ [1435, 1520]}\).
Wyznaczyć prawdopodobieństwo
-
vvv67
Wyznaczyć prawdopodobieństwo
Ostatnio zmieniony 22 maja 2016, o 00:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Wyznaczyć prawdopodobieństwo
Czy znasz Centralne Twierdzenie Graniczne?
Możemy przyjąć, że kostka jest symetryczna, a zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},...X_{400}}\) odzwierciedlające liczbę oczek w kolejnych rzutach są niezależne.
Wtedy \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( 1520 \ge \sum_{i=1}^{400} X_{i} \ge 1435\right) =\mathbf{P}\left( \frac{1520-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \ge \frac{\sum_{i=1}^{400} X_{i} -400\mathbf{E}X_{1}}{\sqrt{400}\sigma X_{1}} \ge \frac{1435-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \right)}\)
Dalej policz \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_{i}, \sigma X_{i}}\) (rozkład dyskretny z \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=x)= \frac{1}{6}}\) dla \(\displaystyle{ x=1,2...6}\), zero poza tym) i przybliż to za pomocą dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.
Jeszcze należy dodać, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(a \ge X \ge b)=\mathbf{P}(X \le a)-\mathbf{P}(X<b)}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ a \ge b}\).
Możemy przyjąć, że kostka jest symetryczna, a zmienne losowe \(\displaystyle{ X_{1},...X_{400}}\) odzwierciedlające liczbę oczek w kolejnych rzutach są niezależne.
Wtedy \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( 1520 \ge \sum_{i=1}^{400} X_{i} \ge 1435\right) =\mathbf{P}\left( \frac{1520-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \ge \frac{\sum_{i=1}^{400} X_{i} -400\mathbf{E}X_{1}}{\sqrt{400}\sigma X_{1}} \ge \frac{1435-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \right)}\)
Dalej policz \(\displaystyle{ \mathbf{E}X_{i}, \sigma X_{i}}\) (rozkład dyskretny z \(\displaystyle{ \mathbf{P}(X=x)= \frac{1}{6}}\) dla \(\displaystyle{ x=1,2...6}\), zero poza tym) i przybliż to za pomocą dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego.
Jeszcze należy dodać, że \(\displaystyle{ \mathbf{P}(a \ge X \ge b)=\mathbf{P}(X \le a)-\mathbf{P}(X<b)}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ a \ge b}\).
-
vvv67
-
miodzio1988
Wyznaczyć prawdopodobieństwo
czego nie rozumiesz? Bo poki co to tak wyglada jakbys gotowca szukal. Wartość oczekiwaną chociaż policzyłeś?
-
vvv67
Wyznaczyć prawdopodobieństwo
miodzio1988, dzień dobry, nie znam jak te prawdopodobieństwo policzyć w ogóle, temu bardzo proszę pomocy
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5220 razy
Wyznaczyć prawdopodobieństwo
Wiesz w ogóle, co to jest wartość oczekiwana (u mnie \(\displaystyle{ \mathbf{E}}\)), odchylenie standardowe (oznaczyłem to jako \(\displaystyle{ \sigma}\))? Powtórzę: czy znasz centralne twierdzenie graniczne?
Jeśli nie, to zapoznaj się z nim, proszę:
... statystyka
("nadzieja matematyczna" to stara nazwa na wartość oczekiwaną, już prawie nieużywana).
Rozwiązanie zawsze mogę napisać, ale co Ci z tego przyjdzie, jeśli nie będziesz wiedział, co jest czym?
Kontynuując, mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{1520-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \ge \frac{\sum_{i=1}^{400} X_{i} -400\mathbf{E}X_{1}}{\sqrt{400}\sigma X_{1}} \ge \frac{1435-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \right)=\\=\mathbf{P}\left(\frac{\sum_{i=1}^{400} X_{i} -400\mathbf{E}X_{1}}{\sqrt{400}\sigma X_{1}} \le \frac{1520-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \right) -\mathbf{P}\left( \frac{\sum_{i=1}^{400} X_{i} -400\mathbf{E}X_{1}}{\sqrt{400}\sigma X_{1}} <\frac{1435-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} }\right)}\)
- skorzystałem z tej własności \(\displaystyle{ \mathbf{P}(a \ge X \ge b)=\mathbf{P}(X \le a)-\mathbf{P}(X<b)}\). Teraz do roboty: policz wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych oczek, odchylenie standardowe, wstaw te dane, a potem poszukaj tablic dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. Oczywiście jeśli nie wiesz czym jest wartość oczekiwana czy centralne twierdzenie graniczne, to najpierw przeczytaj.
Jeśli nie, to zapoznaj się z nim, proszę:
... statystyka
("nadzieja matematyczna" to stara nazwa na wartość oczekiwaną, już prawie nieużywana).
Rozwiązanie zawsze mogę napisać, ale co Ci z tego przyjdzie, jeśli nie będziesz wiedział, co jest czym?
Kontynuując, mamy
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{1520-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \ge \frac{\sum_{i=1}^{400} X_{i} -400\mathbf{E}X_{1}}{\sqrt{400}\sigma X_{1}} \ge \frac{1435-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \right)=\\=\mathbf{P}\left(\frac{\sum_{i=1}^{400} X_{i} -400\mathbf{E}X_{1}}{\sqrt{400}\sigma X_{1}} \le \frac{1520-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} } \right) -\mathbf{P}\left( \frac{\sum_{i=1}^{400} X_{i} -400\mathbf{E}X_{1}}{\sqrt{400}\sigma X_{1}} <\frac{1435-400\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{400}\sigma X_{1} }\right)}\)
- skorzystałem z tej własności \(\displaystyle{ \mathbf{P}(a \ge X \ge b)=\mathbf{P}(X \le a)-\mathbf{P}(X<b)}\). Teraz do roboty: policz wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych oczek, odchylenie standardowe, wstaw te dane, a potem poszukaj tablic dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. Oczywiście jeśli nie wiesz czym jest wartość oczekiwana czy centralne twierdzenie graniczne, to najpierw przeczytaj.
-
timus221
- Użytkownik
- Posty: 579
- Rejestracja: 13 sty 2011, o 20:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 120 razy
- Pomógł: 7 razy
Wyznaczyć prawdopodobieństwo
Chciałem odkopać zadanie, czy w tym przypadku \(\displaystyle{ E(X) =np =400 \cdot \frac{1}{6}}\) , natomiast \(\displaystyle{ VarX=pq= \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}\) ?