Rozkład normalny, inne rozkłady, twierdzenia graniczne

[vvv67]

Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym oraz
prawdopodobieństwo tego, że przyjmie ona wartość mniejszą od 3,5 jeśli jej wariancja wynosi 12,6.

[miodzio1988]

Jaki masz wzór na wariancję w tym rozkładzie?

[janusz47]

Założenie:

Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda,}\) co zapisujemy:

\(\displaystyle{ X \sim Exp(\lambda).}\)

Funkcja gęstości zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda:}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \lambda e^{-\lambda x}.}\)

Wariancja dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\)

\(\displaystyle{ Var(X) = \frac{1}{\lambda^{2}} = 12,6.}\)


Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\)

\(\displaystyle{ E(X) = \frac{1}{\lambda}= \sqrt{12,6} \approx 3,55.}\)

Wartość parametru \(\displaystyle{ \lambda}\)

\(\displaystyle{ \lambda = \frac{1}{E(X)}= \frac{1}{3,55} \approx 0,28.}\)

Szukana wartość prawdopodobieństwa jest wartością dystrybuanty \(\displaystyle{ F}\) w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 3,5}\) zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda = 0,28.}\)

\(\displaystyle{ Pr( X<3,5) = F(3,5)= \int_{0}^{3.5} 0,28\cdot e^{-0,28 x}dx =1 - 0,28\cdot e^{-2,8 \cdot 3,5} \approx 0,89.}\)

Program R

Kod: Zaznacz cały

> P = 1- 0.28*exp(-0.28*3.5)
> P
[1] 0.8949129