Dowód równości z wartością oczekiwaną

[elbargetni]

Cześć, mam problem ze zrozumieniem pewnej równości. Z definicji wartości oczekiwanej mam:
\(\displaystyle{ E[max(X-d,0)] = \int_{d}^{\infty}(x-d)dF_X(x)}\)
Wiem, że to wyrażenie można przekształcić następująco:
\(\displaystyle{ \int_{d}^{\infty}(x-d)dF_X(x) = \int_{d}^{\infty}(1-F_x(x))dx}\)

Mógłby ktoś mi pomóc w zrozumieniu tej równości?

[tanran]

Ogólnie, dla \(\displaystyle{ X \ge 0}\) zachodzi: \(\displaystyle{ E[X]= \int_{0}^{ \infty }P(X > x) \mbox{d}x= \int_{0}^{ \infty }(1- F_{X}(x)) \mbox{d}x}\)

[elbargetni]

Faktycznie znalazłem ten wzór pod hasłem Wartość oczekiwana na angielskiej wikipedii, ale mógłby ktoś wyjaśnić jak ten wzór otrzymać, czy jest to po prostu definicja wartości oczekiwanej?

[M Maciejewski]

Faktycznie znalazłem ten wzór pod hasłem Wartość oczekiwana na angielskiej wikipedii, ale mógłby ktoś wyjaśnić jak ten wzór otrzymać, czy jest to po prostu definicja wartości oczekiwanej?

Wzór ten dostaje się, wykorzystując twierdzenie Tonellego. Całka to ,,pole pod wykresem" funkcji \(\displaystyle{ X\geq 0}\), czyli miara zbioru
\(\displaystyle{ {(omega,r)inOmega imes [0,infty)mid rleq X(omega)}}\). Zapisując to odpowiednio jako całka iterowana, dostaje się wzór
\(\displaystyle{ E[X]= \int_{0}^{ \infty }P(X > x) \mbox{d}x= \int_{0}^{ \infty }(1- F_{X}(x)) \mbox{d}x}\).

[tanran]

Można tak:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty }P(X>x) \mbox{d}x = \int_{0}^{ \infty } \left[ \int_{0}^{ \infty } 1_{(t>x)}(t) \mu_{X}( \mbox{d}t)\right] \mbox{d}x= \int_{0}^{ \infty } \left[ \int_{0}^{ t } \mbox{d}x\right] \mu_{X}(\mbox{d}t)= \int_{0}^{ \infty }t\mu_{X}(\mbox{d}t)=E[X]}\)