Standaryzacja zmiennej losowej - dowód

[mcgregorpl]

Witam, muszę uzasadnić fakt związany z standaryzacją zmiennej losowej
X ~ N(m, d) to \(\displaystyle{ T=\frac{X-m}{d}}\) ~ N(0,1).

ogólny wzór gęstości:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } d } e^{ -\frac{ (x-m)^{2} }{2 d^{2} } }}\)

gęstość dla N(0,1) (czyli tak mam poprzekształcać f(T) aby dojść do tego wzoru):
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } } e^{ -\frac{ x^{2} }{2 } }}\)

wzór na gęstość zmiennej po standaryzacji - T:

\(\displaystyle{ f(T) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } d } e^{ -\frac{ ( \frac{x-m}{d} -m )^{2} }{2 d^{2} } }}\)
i dochodzę do przekształcenia:

\(\displaystyle{ f(T) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi } d } e^{-(\frac{x-m-md}{ \sqrt{2}d^{2} })^{2}}}\)
próbowałem przemnażać ten nawias w potędze e, ale do niczego pożytecznego nie doszedłem.

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ T=\frac{X-m}{d} \Rightarrow X=Td+m}\)

I dopiero taki \(\displaystyle{ X}\) sobie wstaw do tej funkcji gęstości

[mcgregorpl]

Okej podstawiłem, ale zostaje mi cały czas d w mianowniku ułamka, oraz d w mianowniku wykładnika potegi liczby e. Nie wiem jak to ze sobą skrócić.

[miodzio1988]

No \(\displaystyle{ d}\) w wykładniku Ci zostawać nie powinno, ładnie sie skraca

[mcgregorpl]

Okej w wykładniku rzeczywiście się skraca, czy z tego mogę wywnioskować (patrząc na wzór ogólny), że d w mianowniku ułamka stojącego przed e musi się równać 1?

[miodzio1988]

Nie. \(\displaystyle{ d}\) się skraca ładnie. Ale z czym? Pomyśl

Bo jak przekształcamy zmienne losowe to coś robimy w trakcie. Co?