Gęstość zmiennej

[alchem]

Niech zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma gęstość \(\displaystyle{ f(x) = 6e^{-6x} I_{ left[0, infty
ight)(x) }}\)
oraz \(\displaystyle{ Y=X^3}\), wylicz gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y}\).
\(\displaystyle{ f(x)}\) jest ciągła więc wdać że
\(\displaystyle{ F(x)=-e^{-6x}

F_X(x)=P(X<x)

F_Y(x)=P(X^3<x)=P(X<x^{ \frac{1}{3} })=F_X(x^ \frac{1}{3} )=-e^{-6x^ \frac{1}{3} }}\)
a więc \(\displaystyle{ f_Y(x)=e^{-6x^ \frac{1}{3} }2x^{- \frac{2}{3}}}\)

Jest ok?

[miodzio1988]

Zobacz czy się całkuje do jedynki odpowiedź

[M Maciejewski]

Prawie. Nie zauważyłeś funkcji charakterystycznej zbioru.

[alchem]

Zobacz czy się całkuje do jedynki odpowiedź

Jest i jedynka.

Prawie. Nie zauważyłeś funkcji charakterystycznej zbioru.

Chodzi Ci o to?
\(\displaystyle{ f_Y(x)=
egin{cases} e^{-6x^ frac{1}{3} }2x^{- frac{2}{3}} & ext{dla } x in left[ 0, infty
ight) \0 & ext{dla } x in left ( - infty, 0
ight) end{cases}}\)

[M Maciejewski]

Tak, ale czy wiesz, jak to uzasadnić? Twój sposób rozumowania jest dobry, ale niepoprawnie wyliczyłeś \(\displaystyle{ F_X,\,F_Y}\).
Zawsze możesz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ F(\infty)=1}\), \(\displaystyle{ F(-\infty)=0}\).

[alchem]

Bardziej zadziałała tu chyba intuicja. Dlaczego źle?

[M Maciejewski]

Podpowiedziałem Ci. Twoje wyniki dystrybuant nie spełniają tych warunków, które napisałem.
Oblicz z definicji:
\(\displaystyle{ F_X(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,dt=\int_0^x6\cdot e^{-6t}dt = \text{ile?}}\)

Jeszcze jedna uwaga: zazwyczaj w definicji dystrybuanty rozważa się nierówność nieostrą, a nie ostrą (jak to Ty napisałeś). Sprawdź, jak w swoich notatkach. W przypadku rozkładów ciągłych nie ma to oczywiście znaczenia.

[alchem]

\(\displaystyle{ =-e^{-6x}+1}\), teraz widzę że zapomniałem tak jakby o stałej, czyli \(\displaystyle{ f_Y(x)}\) jest dobrze policzone, tylko\(\displaystyle{ F_Y(x)=-e^{-6x^ \frac{1}{3} }+1}\)
I warunki też są spełnione, wielkie dzięki!

[M Maciejewski]

Tylko pamiętaj jeszcze o tym, że to zrobiliśmy dla \(\displaystyle{ x\geq 0}\). Dla \(\displaystyle{ x<0}\) mamy \(\displaystyle{ F_Y(x)=\int_{-\infty}^xf(x)=0}\).