Do \(\displaystyle{ n}\) - osobowego samolotu wsiada \(\displaystyle{ n}\) podróżnych \(\displaystyle{ p_1, \ldots ,p_n}\) zajmując kolejno miejsca osoba po osobie. Pasażer \(\displaystyle{ p_1}\) ignoruje informację na swoim bilecie i siada na losowo wybranym miejscu. Każda z następnych osób siada na miejscu zgodnie ze swoim biletem, jeśli jest wolne; w przeciwnym przypadku wybiera losowo jedno z pozostałych miejsc. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pasażer \(\displaystyle{ p_n}\) usiądzie na miejscu opisanym na swoim bilecie?
Nie widzę zupełnie czego można by tu użyć aby rozwiązać to zadanie. Może macie jakieś pomysły?
rozsadzenie pasażerów
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
rozsadzenie pasażerów
Prawdopodobieństwo warunkowe.
Aby pasażer \(\displaystyle{ p_{n}}\) usiadł na miejscu opisanym na swoim bilecie, potrzeba i wystarcza by żaden z pasażerów \(\displaystyle{ p_{1},..p_{n-1}}\) nie usiadł na miejscu pasażera \(\displaystyle{ p_{n}}\).
Czyli interesuje nas \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-1}')}\),
gdzie zdarzenie \(\displaystyle{ A_{i}}\) oznacza, że pasażer \(\displaystyle{ p_{i}, i=1,...n-1}\) usiadł na miejscu przeznaczonym dla pasażera \(\displaystyle{ p_{n}}\) (czyli \(\displaystyle{ A_{i}'}\) to oczywiście zdarzenie przeciwne).
Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, mamy następującą zależność:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cap B)=\mathbf{P}(B|A)\mathbf{P}(A)}\). Zastosuj to wielokrotnie, żeby uprościć
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-1}')}\), a następnie policz.
Choć niewykluczone, że można prościej.
Aby pasażer \(\displaystyle{ p_{n}}\) usiadł na miejscu opisanym na swoim bilecie, potrzeba i wystarcza by żaden z pasażerów \(\displaystyle{ p_{1},..p_{n-1}}\) nie usiadł na miejscu pasażera \(\displaystyle{ p_{n}}\).
Czyli interesuje nas \(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-1}')}\),
gdzie zdarzenie \(\displaystyle{ A_{i}}\) oznacza, że pasażer \(\displaystyle{ p_{i}, i=1,...n-1}\) usiadł na miejscu przeznaczonym dla pasażera \(\displaystyle{ p_{n}}\) (czyli \(\displaystyle{ A_{i}'}\) to oczywiście zdarzenie przeciwne).
Korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, mamy następującą zależność:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A \cap B)=\mathbf{P}(B|A)\mathbf{P}(A)}\). Zastosuj to wielokrotnie, żeby uprościć
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-1}')}\), a następnie policz.
Choć niewykluczone, że można prościej.
-
alla2012
- Użytkownik
- Posty: 82
- Rejestracja: 16 maja 2015, o 23:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 42 razy
rozsadzenie pasażerów
dziękuję , troszkę mi to pomogło jednak mam jeszcze dużo wątpliwości.
Mamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-1}')=\mathbf{P}(A_{n-1}'|A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-2}')\mathbf{P}(A_{n-2}'|A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-3}')\ldots\mathbf{P}(A_{3}'|A_{1}' \cap A_{2}' )\mathbf{P}(A_{2}'|A_{1}' )\mathbf{P}(A_1')= \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4} \ldots \frac{n-2}{n-1} \frac{n-1}{n}= \frac{1}{n}}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-1}')=\mathbf{P}(A_{n-1}'|A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-2}')\mathbf{P}(A_{n-2}'|A_{1}' \cap A_{2}' \cap... \cap A_{n-3}')\ldots\mathbf{P}(A_{3}'|A_{1}' \cap A_{2}' )\mathbf{P}(A_{2}'|A_{1}' )\mathbf{P}(A_1')= \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4} \ldots \frac{n-2}{n-1} \frac{n-1}{n}= \frac{1}{n}}\)
Ostatnio zmieniony 14 maja 2016, o 17:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.