Suma zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym

[pwas]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_{100}}\) są niezależne o jednakowym rozkładzie
jednostajnym \(\displaystyle{ U\lbrack 1,3\rbrack}\). Oblicz przybliżone prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(360 < \sum_{i=1}^{100}X_i <390)}\).
Mają dane \(\displaystyle{ U\lbrack 1,3\rbrack}\) ze wzorów jestem w stanie wyliczć wariancję oraz wartość oczekiwania.
Znam wzór \(\displaystyle{ N(n * m, \delta * \sqrt{n})}\) ale to chyba tylko do rozkładku normalnego, nie jednostajnego. Jak dalej to zadanie ugryźć?

[Premislav]

Zdefiniujmy ciąg \(\displaystyle{ (X_{n})_{n=1}^{\infty}}\) niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ \mathcal{U} [1,3]}\). Wówczas na mocy CTG otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ \frac{X_{1}+...+X_{n}-n\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{n Var X_{1}} }}\)
zbiega według rozkładu do \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\), co w praktyce oznacza, że dla dużych \(\displaystyle{ n}\) możemy przybliżać
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{X_{1}+...+X_{n}-n\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{n Var X_{1}} } \le x\right)}\) dla \(\displaystyle{ x\in \RR}\) za pomocą dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{X_{1}+...+X_{n}-n\mathbf{E}X_{1}}{ \sqrt{n Var X_{1}} } \le x\right)\approx \Phi(x)}\).
[gdyż zbieżność według rozkładu jest równoważna zbieżności ciągu dystrybuant do dystrybuanty rozkładu granicznego we wszystkich punktach, w których dystrybuanta rozkładu granicznego jest ciągła).
Policz \(\displaystyle{ mathbf{E}X}\) dla zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) o rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U[1.3]}\) (albo bez liczenia pomyśl, ile to musi być), a także policz \(\displaystyle{ Var X}\), przekształć
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( 360 < \sum_{i=1}^{100}X_i <390\right)=\mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^{100}X_i <390 \right)-\mathbf{P}\left( \sum_{i=1}^{100}X_i \le 360\right)}\)
w ten sposób, by skorzystać z CTG
i odczytaj odpowiednie wartości w tablicach dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego. Aha, rozkład normalny jest absolutnie ciągły, zatem nie ma znaczenia, czy masz ostrą, czy nieostrą nierówność.

-- 12 maja 2016, o 19:49 --

PS Co to zeminny? Jakaś hebrajska potrawa?

[pwas]

Dziękować, centralne twierdzenie graniczne to jest to, co przegapiłem

[mkb]

Przy takich warunkach jak w zadaniu suma stu zmiennych losowych będzie zawierać się w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 100, 300\right]}\) więc szukane prawdopodobieństwo będzie dokładnie równe zeru.

[Premislav]

Też prawda, w ogóle nawet nie popatrzyłem na te liczby. Cóż, nie każdy jest spostrzegawczy...