Liniowość wartości oczekiwanej.
: 31 sie 2007, o 21:46
Jeśli istnieją wartości oczekiwane X oraz Y to zachodzi nastepująca własność:
\(\displaystyle{ Z=aX+bY}\)
\(\displaystyle{ EZ=aEX+bEY}\)
Jest ona dość oczywista biorąc pod uwagę że wartość oczekiwana to jest całka (ew. suma) a całka jest odwzorowaniem liniowym. Jednak chciałbym aby ktoś ją formalnie udowodnił.
\(\displaystyle{ P=aEX+bEY=a t_R xf_X(x)dx+b t_R yf_Y(y)dy}\)
\(\displaystyle{ L=EZ=\int_R zf_Z(z)dz}\)
No i teraz zapewne by wypadało rozpisać dalej stronę lewą aby dojść do prawej, tylko ze nie znamy gęstości rozkładu sumy... no i nie wiem co dalej zrobić.
[edit]
Jeśli by kogoś ciekawiło to zrobiłem to ostatecznie z ogólniejszej definicji:
\(\displaystyle{ E(aX+bY)=\int_{\Omega}(aX+bY)dP=a\int_{\Omega}XdP+b\int_{\Omega}YdP = aEX+bEY}\)
\(\displaystyle{ Z=aX+bY}\)
\(\displaystyle{ EZ=aEX+bEY}\)
Jest ona dość oczywista biorąc pod uwagę że wartość oczekiwana to jest całka (ew. suma) a całka jest odwzorowaniem liniowym. Jednak chciałbym aby ktoś ją formalnie udowodnił.
\(\displaystyle{ P=aEX+bEY=a t_R xf_X(x)dx+b t_R yf_Y(y)dy}\)
\(\displaystyle{ L=EZ=\int_R zf_Z(z)dz}\)
No i teraz zapewne by wypadało rozpisać dalej stronę lewą aby dojść do prawej, tylko ze nie znamy gęstości rozkładu sumy... no i nie wiem co dalej zrobić.
[edit]
Jeśli by kogoś ciekawiło to zrobiłem to ostatecznie z ogólniejszej definicji:
\(\displaystyle{ E(aX+bY)=\int_{\Omega}(aX+bY)dP=a\int_{\Omega}XdP+b\int_{\Omega}YdP = aEX+bEY}\)